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Vidéo de question : Calculer le périmètre d’un polygone à partir du périmètre d’un polygone semblable et des aires des deux polygones Mathématiques

Deux polygones semblables ont pour aires respectives 361 cm² et 81 cm². Sachant que le périmètre du premier polygone est de 38 cm, calculez le périmètre de l'autre polygone.

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Transcription de vidéo

Deux polygones semblables ont pour aires respectives 361 centimètres carrés et 81 centimètres carrés. Sachant que le périmètre du premier polygone est de 38 centimètres, calculez le périmètre de l'autre polygone.

On rappelle que des figures semblables ont le même nombre de côtés, que leurs angles correspondants sont égaux et que leurs côtés correspondants sont dans la même proportion. Nous étudions ici deux polygones semblables. Nous ne savons pas quelle est la forme de ces polygones. Ce pourraient être des carrés, des rectangles, des cerfs-volants ou même des hexagones. Appelons-les donc polygone un et polygone deux. On nous donne cependant quelques informations sur ces deux polygones. Nous savons que le premier a une aire de 361 centimètres carrés et que le second a une aire de 81 centimètres carrés. On nous dit également que le périmètre du premier est de 38 centimètres, et nous devons calculer le périmètre de ce deuxième polygone.

Si on connaît la forme d’un polygone, il est parfois possible de calculer son périmètre à partir de son aire. Mais nous ne savons pas ici quelle est la forme de ces polygones. Nous allons donc devoir utiliser le rapport de leurs aires pour nous aider à calculer le périmètre. On rappelle pour cela que si le rapport des longueurs de deux polygones semblables est 𝑎 pour 𝑏, alors le rapport de leurs aires est 𝑎 au carré pour 𝑏 au carré. Écrivons donc le rapport des aires de nos deux polygones. Il est de 361 pour 81.

Et d’après la propriété ci-dessus, ce rapport des aires peut être écrit comme 𝑎 au carré pour 𝑏 au carré si le rapport des longueurs est 𝑎 pour 𝑏. Essayons donc de calculer les valeurs de 𝑎 et 𝑏. On remarque alors que 361 et 81 sont tous les deux des carrés parfaits. La racine carrée de 361 est 19 et la racine carrée de 81 est neuf. Donc le rapport de 19 pour neuf est en fait le rapport des longueurs de ces deux polygones.

Et maintenant que nous connaissons le rapport des longueurs entre les deux polygones, nous pouvons nous demander comment il peut nous aider à calculer le périmètre du deuxième polygone. Nous devons pour cela nous rappeler que le périmètre est simplement une longueur. Et que les périmètres sont donc dans le même rapport que les longueurs. Cela signifie que nous recherchons en fait deux rapports équivalents. Nous devons trouver la valeur telle que rapport des périmètres, 38 pour cette valeur, est équivalent au rapport des longueurs, 19 pour neuf. On remarque alors que 19 fois deux est égal à 38. On effectue ensuite le calcul équivalent pour l’autre terme du rapport, ce qui donne une valeur de 18. Par conséquent, nous pouvons conclure que le périmètre du deuxième polygone est de 18 centimètres.

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