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Vidéo de question : Déterminer des limites en les transformant sous la forme de limites d’exposants Mathématiques

Calculez lim_ (𝑥 → ∞) ((3𝑥 - 11) / (3𝑥 + 11)) ^ (𝑥).

11:27

Transcription de vidéo

Calculez la limite lorsque 𝑥 tend vers ∞ de trois 𝑥 moins 11 le tout sur trois 𝑥 plus 11 le tout élevé à la puissance 𝑥.

Dans cette question, on nous demande d’évaluer une limite. La première chose que nous devrions toujours essayer quand on nous demande d’évaluer une limite est de le faire directement. Dans ce cas, nous cherchons notre limite lorsque 𝑥 tend vers ∞. Commençons donc par voir ce qui se passe entre nos parenthèses. À l’intérieur de nos parenthèses, nous avons une fonction rationnelle. Nous pouvons voir que lorsque 𝑥 tend vers ∞, le numérateur et le dénominateur de cette expression vont tous deux tendre vers ∞. Ainsi, l’évaluer de cette façon va nous donner ∞ sur ∞, ce que nous savons être une forme indéterminée.

Au lieu de cela, nous allons devoir remarquer que le numérateur et le dénominateur de cette fonction rationnelle sont linéaires. Nous pouvons donc évaluer cette limite en prenant le quotient des termes dominants. Nous avons trois 𝑥 divisé par trois 𝑥, qui est égal à un. Ainsi, cela nous dit que lorsque 𝑥 tend vers ∞, l’intérieur de nos parenthèses, soit notre fonction rationnelle, tend vers un. Il s’agit exactement du même résultat que nous obtiendrions en divisant simplement par notre numérateur et notre dénominateur par 𝑥, puis en évaluant directement la limite.

Notre exposant est beaucoup plus facile à évaluer car il est juste égal à 𝑥. Ainsi, il tend vers ∞ lorsque 𝑥 tend vers ∞. En évaluant donc directement cette limite, nous obtenons un à la puissance ∞, qui est une forme indéterminée. Cela signifie que nous ne pouvons pas évaluer cette limite directement, ce qui signifie que nous allons devoir essayer une méthode différente pour l’évaluer.

Pour ce faire, nous allons commencer par simplifier l’expression à l’intérieur de nos parenthèses. Nous pourrions le faire en utilisant la division algébrique. Cependant, il existe une méthode plus simple. Si nous écrivons le numérateur de notre fonction rationnelle comme trois 𝑥 plus 11 moins 22, alors nous pouvons diviser trois 𝑥 plus 11 et moins 22 séparément par notre dénominateur. En divisant trois 𝑥 plus 11 par trois 𝑥 plus 11, nous obtenons un. En divisant moins 22 par trois 𝑥 plus 11, nous obtenons moins 22 sur trois 𝑥 plus 11.

Il convient de souligner ici que nous savons que trois 𝑥 plus 11 n’est pas égal à zéro parce que 𝑥 tend vers ∞. Ainsi, finalement, 𝑥 sera plus grand que moins 11 sur trois. Nous avons donc pu réécrire notre limite comme la limite lorsque 𝑥 tend vers ∞ de un moins 22 sur trois 𝑥 plus 11 le tout élevés à la puissance 𝑥. A ce stade, nous avons quelques méthodes différentes que nous pourrions utiliser pour évaluer cette limite. Dans cette vidéo, nous allons utiliser l’un de nos résultats limites impliquant la constante d’Euler 𝑒.

Nous savons que la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛 le tout élevé à la puissance un sur 𝑛 est égal à 𝑒. Il convient de souligner que nous avons deux résultats de limites différents impliquant la constante d’Euler 𝑒. En fait, comme ils sont équivalents, nous pouvons utiliser l’un ou l’autre pour répondre à cette question. Il s’agit de votre préference personnelle. Cependant, en général, l’un des deux résultats de limites rendra le travail plus facile.

Il est très difficile de voir laquelle des deux limites vous devez utiliser simplement en regardant la limite que vous êtes invité à évaluer. Ainsi, si vous avez du mal avec l’une, essayez de passer à l’autre résultat de limite. Pour essayer d’appliquer ce résultat limite, nous allons vouloir ajouter à l’intérieur de nos parenthèses une valeur 𝑛. Cela signifie que nous allons devoir essayer d’utiliser la substitution 𝑛 est égal à moins 22 divisé par trois 𝑥 plus 11. Seulement, ce n’est pas la seule chose que nous devons faire. Nous cherchons notre limite lorsque 𝑥 tend vers ∞. Si nous utilisons la substitution pour 𝑛, nous voulons savoir ce qui arrive à 𝑛 lorsque 𝑥 tend vers ∞.

En fait, nous pouvons le faire directement à partir de notre substitution. Lorsque 𝑥 tend vers ∞, le numérateur du membre droit de cette équation reste constant. Cependant, le dénominateur tend vers ∞. Il croît sans limite. Ainsi, le côté droit de cette équation tend vers zéro. Cela signifie que 𝑛 tend vers zéro lorsque 𝑥 tend vers ∞. Par conséquent, au lieu de prendre la limite lorsque 𝑥 tend vers ∞, nous pouvons prendre la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro. Cependant, il y a encore une chose. 𝑥 apparaît toujours dans notre limite. Nous allons donc devoir écrire ceci en fonction de 𝑛.

Pour ce faire, nous pouvons simplement réorganiser notre substitution pour donner 𝑥 en fonction de 𝑛. Nous allons commencer par multiplier les deux côtés de notre équation par trois 𝑥 plus 11, puis diviser par 𝑛. Cela nous donne trois 𝑥 plus 11 est égal à moins 22 sur 𝑛. Nous voulons réorganiser cette équation pour isoler 𝑥. Nous allons devoir soustraire 11 des deux côtés de notre équation, puis diviser par trois. Cela nous donne que 𝑥 est égal à un tiers de moins 22 sur 𝑛 moins 11. Cependant, nous allons simplifier cela en distribuant un tiers dans notre parenthèse, ce qui nous donne 𝑥 est égal à moins 22 sur trois 𝑛 moins 11 sur trois. Nous allons remplacer cela directement dans notre limite.

Par conséquent, en utilisant notre substitution, nous avons pu réécrire notre limite comme la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛 le tout élevé à la puissance moins 22 sur trois 𝑛 moins 11 sur trois. Maintenant, nous pouvons voir que cela est très proche de notre résultat de limite. Nous cherchons notre limite quand 𝑛 tend vers zéro. A l’intérieur de nos parenthèses, nous avons un plus 𝑛. Nous devons maintenant écrire notre exposant sous la forme un sur 𝑛.

Pour ce faire, nous allons vouloir simplifier l’exposant dans notre limite. Il y a plusieurs façons de le faire. Une façon sera d’utiliser nos lois sur les exposants. 𝑎 à la puissance 𝑏 moins 𝑐 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑏 multiplié par 𝑎 à la puissance moins 𝑐. Il convient de souligner ici que la seule raison pour laquelle nous n’avons pas écrit cela sous la forme 𝑎 à la puissance 𝑏 divisée par 𝑎 à la puissance 𝑐 est de gagner de l’espace. Vous pouvez utiliser l’une ou l’autre de ces deux méthodes. Les deux fonctionneront.

Ainsi, en fixant 𝑎 égal à un plus 𝑛, 𝑏 égal à moins 22 sur trois 𝑛 et 𝑐 égal à 11 sur trois, nous obtenons la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛 le tout élevé à la puissance moins 22 sur trois 𝑛 multiplié par un plus 𝑛 le tout élevé à la puissance moins 11 sur 3. Maintenant, nous pouvons voir que nous essayons d’évaluer la limite de notre produit. Nous pouvons donc essayer de simplifier cela en utilisant la règle du produit pour les limites.

Nous rappelons que la règle du produit pour les limites nous dit que la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛 fois 𝑔 de 𝑛 est égale à la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛 multipliée par la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑛 à condition que la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛 et la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑛 existent. Ainsi, en appliquant la règle du produit pour les limites à cette question, nous obtenons la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛 le tout élevé à la puissance moins 22 sur trois 𝑛 multipliée par la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛 le tout élevé à la puissance de moins 11 sur trois. Nous pouvons garantir que cela est vrai à condition que ces deux limites existent.

A ce stade, nous ne savons pas si ces deux limites existent ou non. Nous pouvons directement évaluer la limite de notre deuxième fonction en remarquant quelque chose d’intéressant. Il s’agit d’une fonction continue, nous pouvons donc simplement substituer 𝑛 est égal à zéro dans notre fonction. Ainsi, notre deuxième limite est évaluée pour nous donner un plus zéro, le tout élevé à la puissance moins 11 sur trois, ce qui est égal à un. Nous pouvons donc simplement égaler ce nombre à un. Cela nous donne la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛 le tout élevé à la puissance moins 22 sur trois 𝑛 à condition que cette limite existe. Maintenant, nous sommes presque sous une forme où nous pouvons utiliser notre résultat de limite. Nous avons juste besoin d’écrire l’exposant sous la forme un sur 𝑛.

Nous pouvons le faire en utilisant nos lois des exposants. Nous allons utiliser le fait que 𝑎 à la puissance 𝑏 fois 𝑐 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑐. Ainsi, en fixant 𝑎 égal à un plus 𝑛, 𝑏 égal à un sur 𝑛 et 𝑐 égal à moins 22 sur trois, nous avons réécrit notre limite comme la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛 élevé à la puissance un sur 𝑛 le tout élevé à la puissance moins 22 sur trois à condition que cette limite existe.

Maintenant, il pourrait être tentant d’essayer d’appliquer directement notre résultat de limite. Cependant, nous ne pouvons pas encore le faire car notre exposant est toujours à l’intérieur de notre limite. Nous voulons donc prendre cet exposant de moins 22 sur trois en dehors de notre limite. Pour ce faire, nous allons devoir utiliser la règle de puissance pour les limites. Nous rappelons que la règle des puissances pour les limites nous dit que la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 élevée à la puissance 𝑘 est égale à la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 le tout élevé à la puissance 𝑘 à condition que la limite quand 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe et qu’élever cela à la puissance 𝑘 doit également être possible.

Dans notre cas, nous pourrons prouver que ces deux conditions préalables sont vraies. Le moyen le plus simple de le faire est d’appliquer la règle des puissances pour les limites à notre limite, puis de vérifier que les deux conditions préalables sont remplies. Ainsi, en utilisant cela, nous obtenons la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛 le tout élevé à la puissance un sur 𝑛 le tout élevé à la puissance moins 22 sur trois. Nous pouvons voir que notre limite à l’intérieur de notre exposant existe. En fait, nous savons que cela est égal à 𝑒 car ce n’est que notre résultat de limite.

Ensuite, nous pouvons également voir qu’il est également possible d’élever ceci à la puissance moins 22 sur trois parce que 𝑒 n’est qu’un nombre positif. Cela justifie notre utilisation de la règle des puissances pour les limites, ce qui nous donne 𝑒 à la puissance moins 22 sur trois. Il convient également de souligner, car nous venons de montrer que cette limite existe, que nous avons également justifié notre utilisation de la règle du produit pour les limites. Par conséquent, nous avons évalué notre limite avec succès, afin que nous puissions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, nous allons faire une autre modification. Nous allons utiliser nos lois des exposants pour réécrire cela dans le dénominateur. Nous obtenons un sur 𝑒 à la puissance 22 sur trois, ce qui est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer que la limite lorsque 𝑥 tend vers ∞ de trois 𝑥 moins 11 le tout sur trois 𝑥 plus 11 le tout élevé à la puissance 𝑥 est égal à un sur 𝑒 à la puissance 22 sur trois.

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