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Vidéo de question : Résoudre des équations du second degré en factorisant Mathématiques

Déterminez l’ensemble solution de (𝑥 + 2) / 2 = 12 / 𝑥 dans ℝ.

04:13

Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble solution dans l’ensemble des réels de l’équation 𝑥 plus deux sur deux est égal à 12 sur 𝑥.

L’ensemble solution représente l’ensemble de toutes les valeurs de la variable – soit 𝑥 dans ce cas - qui vérifient l’équation donnée. Et on nous dit que nous ne sommes intéressés que par les valeurs de 𝑥 qui appartiennent à l’ensemble des nombres réels.

Maintenant, à première vue, cette équation semble un peu complexe car elle implique des fractions. Et en effet, nous pouvons voir que la variable 𝑥 de l’équation que nous cherchons à résoudre est dans le dénominateur de l’une de ces fractions. Cependant, les deux dénominateurs peuvent être éliminés en utilisant la règle d’égalité des produits en croix. En multipliant les deux membres par deux et 𝑥, nous obtenons que 𝑥 multiplié par 𝑥 plus deux est égal à 12 multiplié par deux. Dans le membre de droite, 12 multiplié par deux est égal à 24. Et dans le membre de gauche, nous devons distribuer ce facteur 𝑥 sur nos parenthèses. 𝑥 multiplié par 𝑥 donne 𝑥 au carré et 𝑥 multiplié par deux donne deux 𝑥. Nous avons donc que 𝑥 au carré plus deux 𝑥 est égal à 24.

Ensuite, nous souhaitons regrouper tous les termes dans le même membre de l’équation. Ce à quoi nous aboutissons en soustrayant 24 des deux membres, ce qui donne que 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 24 est égal à zéro. Nous avons donc pris une équation d’aspect relativement compliqué et que nous ne pouvions pas immédiatement reconnaître comme du second degré. Et en la réarrangeant, nous l’avons écrit sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro qui est la forme la plus facilement reconnaissable d’une équation du second degré.

Nous allons essayer de résoudre cette équation en factorisant. Premièrement, nous notons que le coefficient de 𝑥 au carré est un, ce qui signifie que le premier terme de chacune de nos parenthèses sera simplement 𝑥 car 𝑥 multiplié par 𝑥 donne 𝑥 au carré. Pour compléter nos parenthèses, nous recherchons ensuite deux nombres dont la somme égale le coefficient de 𝑥 - c’est à dire plus deux - et dont le produit égale le terme constant - c’est moins 24.

Énumérer les paires de facteurs dont le produit est égal à 24 peut nous aider ici. Les paires de facteurs sont un et 24, deux et 12, trois et huit et quatre et six. Nous savons cependant que pour obtenir un résultat de moins 24, nous avons besoin que l’un de ces nombres soit négatif et que l’autre soit positif. Si nous choisissons la dernière paire de facteurs et prenons l’opposé de quatre, nous aurons alors moins quatre et six et leur produit est égal à moins 24. Et ils ont aussi une somme de plus deux. Ce sont donc ces deux nombres que nous recherchions pour compléter nos parenthèses. La forme factorisée de notre équation du second degré est donc 𝑥 plus six multipliée par 𝑥 moins quatre est égal à zéro.

Rappelez-vous que nous pouvons écrire ces facteurs dans n’importe quel ordre. Pour résoudre notre équation du second degré une fois arrivés à cette étape, nous rappelons que pour que le produit de deux facteurs soit égal à zéro, l’un au moins des facteurs doit être égal à zéro. Nous prenons donc chaque facteur tour à tour, le posons comme égal à zéro et puis résolvons l’équation linéaire résultante. Nous avons donc que soit 𝑥 plus six est égal à zéro, soit 𝑥 moins quatre est égal à zéro.

La première équation peut être résolue en soustrayant six de chaque membre pour nous donner que 𝑥 est égal à moins six et la seconde en ajoutant quatre à chaque membre pour nous donner que 𝑥 est égal à quatre. Nous avons donc trouvé qu’il y a deux valeurs dans l’ensemble solution de cette équation à savoir les valeurs moins six et quatre. Nous pouvons bien sûr vérifier ceci en remplaçant par l’une ou l’autre de ces valeurs dans l’équation d’origine. Par exemple, lorsque 𝑥 est égal à quatre, le membre de gauche devient quatre plus deux sur deux. Ceci nous donne six sur deux, soit trois. Et le membre de gauche devient 12 sur quatre, ce qui équivaut également à trois. Et donc cela confirme que 𝑥 est égal à quatre est une solution valide de cette équation.

Nous pouvons alors faire la même chose pour 𝑥 est égal à moins six si nous le souhaitons. Nous avons donc trouvé l’ensemble solution de cette équation. C’est l’ensemble formé des valeurs moins six et quatre.

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