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Vidéo de question : Déterminer le module d’un nombre complexe Mathématiques

Que vaut | 𝑧 | sachant que 𝑧 = 2 - 8𝑖 ?

05:10

Transcription de vidéo

Que vaut le module de 𝑧 sachant que 𝑧 est égal à deux moins huit 𝑖 ?

Dans cette question, on nous donne un nombre complexe 𝑧 et on nous demande de trouver la valeur du module de 𝑧. Donc pour répondre à cette question, nous allons d’abord devoir rappeler exactement ce que nous entendons par le module d’un nombre complexe 𝑧. Nous rappelons que lorsque nous disons le module d’un nombre complexe 𝑧, nous voulons dire la distance de 𝑧 par rapport à l’origine sur un plan d’Argand.

Par conséquent, une façon de trouver le module de 𝑧 sera de placer le point 𝑧 sur un plan d’Argand puis de trouver sa distance par rapport à l’origine. Alors faisons-le maintenant. Rappelez-vous, dans un plan complexe d’Argand, notre position horizontale représente la partie réelle de notre nombre et la position verticale représente la partie imaginaire de notre nombre.

Nous voulons placer le point 𝑧 sur notre plan d’Argand. Nous pouvons voir que la partie réelle de ce nombre complexe est deux. Donc sur notre plan d’Argand, sa coordonnée horizontale va être égale à deux. Et nous pouvons également voir que la partie imaginaire de notre nombre complexe, c’est le coefficient de 𝑖, est moins huit. Ainsi, la coordonnée verticale sur notre plan d’Argand du point 𝑧 va être moins huit. Nous pouvons donc utiliser ceci pour placer le point 𝑧 sur notre plan d’Argand.

Maintenant, rappelez-vous, la question nous demande de déterminer le module de 𝑧. Et c’est la distance que 𝑧 est de l’origine sur notre plan d’Argand. Et nous pouvons le faire en formant le triangle rectangle suivant. Nous pouvons voir que le module de 𝑧 sera l’hypoténuse de ce triangle. Nous pouvons voir que la hauteur de ce triangle rectangle est le module de la coordonnée 𝑦 de 𝑧, qui est huit. Et la largeur de ce triangle rectangle est le module de l’abscisse 𝑥. C’est égal à deux.

Par conséquent, en utilisant le théorème de Pythagore, nous pouvons trouver la longueur de l’hypoténuse. Elle est égale à la racine carrée de deux au carré plus huit au carré. Et bien sûr, dans ce cas, l’hypoténuse est notre module de 𝑧. Et nous pouvons déterminer ceci. Premièrement, deux au carré est égal à quatre et huit au carré est égal à 64.

Maintenant, nous pourrions les additionner. Cependant, nous pouvons également remarquer que ces deux facteurs partagent un facteur de quatre. Et ceci est utile car nous savons que quatre est un carré parfait. Nous allons donc éliminer ce facteur. Ceci nous donne la racine carrée de quatre fois un plus 16. Maintenant, nous allons utiliser nos lois des exposants pour prendre la racine carrée de chacun de ces éléments séparément. Ceci nous donne la racine carrée de quatre multipliée par la racine carrée de un plus 16. Et bien sûr la racine carrée de quatre est deux et un plus 16 est égal à 17, ce qui nous donne une réponse finale de deux fois la racine carrée de 17.

Cependant, il existe une méthode beaucoup plus simple que nous aurions pu utiliser pour répondre à cette question. Nous pouvons trouver une formule pour nous aider à trouver le module d’un nombre complexe donné sous la forme suivante. 𝜔 est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖, où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. Nous trouverons cette formule exactement de la même manière que nous l’avions fait auparavant. Nous allons commencer par placer 𝜔 sur notre plan d’Argand. Pour ce faire, nous devons trouver la partie réelle et la partie imaginaire de 𝜔. C’est 𝑎 et 𝑏, respectivement. Ensuite, nous pouvons simplement placer le point 𝜔 sur notre plan d’Argand. Et le module de 𝜔 sera sa distance par rapport à l’origine.

Et nous pouvons trouver cette distance de la même manière qu’avant. Nous formons le triangle rectangle suivant. Et le module de 𝜔 sera l’hypoténuse de ce triangle rectangle. La hauteur de ce triangle rectangle est la valeur absolue de 𝑏, et la largeur de ce triangle est la valeur absolue de 𝑎.

Par conséquent, en utilisant le théorème de Pythagore, nous pouvons trouver une formule pour le module de 𝜔. Elle est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Et ceci parce que le module de 𝑎 le tout au carré est égal à 𝑎 au carré et le module de 𝑏 le tout au carré est égal à 𝑏 au carré. Donc, en fait, un moyen plus facile de trouver le module de 𝑧 qui nous est donné dans la question est simplement d’appliquer cette formule. Dans notre cas, la partie réelle de 𝑧 est égale à deux et la partie imaginaire de 𝑧 est égale à moins huit.

Donc selon notre formule, le module de 𝑧 est la racine carrée de deux au carré plus moins huit au carré. Et puis si nous suivons exactement les mêmes étapes que nous avons faites auparavant, nous verrions également que c’est égal à deux fois la racine carrée de 17. Par conséquent, dans cette question, nous avons pu montrer deux méthodes différentes pour trouver le module de deux moins huit 𝑖. Dans les deux cas, nous avons vu que c’était égal à deux racine carrée de 17.

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