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Vidéo question :: Déterminer l'équation de la normale à une courbe définie par des équations paramétriques à une valeur donnée du paramètre Mathématiques • Troisième année secondaire

Déterminez l'équation de la normale à la courbe d’équations 𝑥 = 4𝑛² - 6𝑛 et 𝑦 = 5𝑛² en 𝑛 = 1.

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Transcription de la vidéo

Déterminez l'équation de la normale à la courbe d’équations 𝑥 égale quatre 𝑛 au carré moins six 𝑛 et 𝑦 égale cinq 𝑛 au carré en 𝑛 égale un.

Rappelons tout d'abord ce qu'est la normale. Supposons que nous avons une courbe 𝑦 et que nous voulons trouver la normale à la courbe en ce point. Nous avons une tangente à la courbe qui a la même pente d𝑦 sur d𝑥 que la courbe 𝑦. La normale est la droite qui est perpendiculaire à la tangente en un point. Ainsi, la normale a une pente de moins un sur d𝑦 sur d𝑥.

Seulement, quel est le point qui nous intéresse pour cette question ? Nous avons 𝑥 et 𝑦 définis en fonction d'un troisième paramètre : 𝑛. Nous savons que nous voulons l'équation de la normale au point où 𝑛 égale un. Ainsi, en substituant 𝑛 égale un, nous obtenons que 𝑥 égale quatre fois un au carré moins six fois un, ce qui est égal à quatre moins six. Cela nous donne moins deux. En substituant 𝑛 égale un dans 𝑦, nous obtenons 𝑦 égale cinq fois un au carré, ce qui nous donne cinq.

Nous cherchons donc l'équation de la normale au point moins deux, cinq. Nous avons dit que la pente de la normale est moins un sur d𝑦 sur d𝑥. Si nous pouvons déterminer la pente de la normale, nous pouvons l'utiliser, tout comme le point que nous venons de trouver, pour trouver l'équation de la normale. Il faut donc commencer par trouver d𝑦 sur d𝑥. Nous pouvons souvent le faire en dérivant 𝑦 par rapport à 𝑥. Seulement, puisque nous n’avons pas 𝑦 en fonction de 𝑥, nous devons faire une dérivation paramétrique. Cela veut dire que si 𝑥 et 𝑦 sont en fonction d'un troisième paramètre 𝑛, alors d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑛 sur d𝑥 sur d𝑛. Ceci est correct tant que d𝑥 sur d𝑛 n'est pas nul.

Commençons donc par trouver d𝑦 sur d𝑛. Il s'agit de la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑛. 𝑦 égale cinq 𝑛 au carré. En utilisant la règle de la dérivation des puissances, qui nous dit de multiplier par la puissance puis de soustraire un de la puissance, nous obtenons que d𝑦 sur d𝑛 égale 10𝑛. d𝑥 sur d𝑛 est la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑛. Puisque 𝑥 égale quatre 𝑛 au carré moins six 𝑛, en utilisant à nouveau la règle des puissances, nous trouvons que d𝑥 sur d𝑛 égale huit 𝑛 moins six. Ainsi, d𝑦 sur d𝑥 égale 10𝑛 sur huit 𝑛 moins six.

Rappelons que nous ne sommes intéressés que par la pente en un point précis. Ce point est celui où 𝑛 égale un. Par substitution de 𝑛 égale un, d𝑦 sur d𝑥 égale 10 sur deux. Nous pouvons en fait simplifier cela car 10 sur deux est juste cinq. Rappelez-vous que nous avons dit que d𝑥 sur d𝑛, le dénominateur, ne doit pas être nul. Puisque nous avons trouvé que d𝑥 sur d𝑛 est égal à huit 𝑛 moins six et qu'au point où 𝑛 est égale un, cela donne deux, la formule est correcte.

Maintenant, rappelez-vous que nous avons dit que la pente de la normale était égale à moins un sur d𝑦 sur d𝑥. Puisque nous avons trouvé que d𝑦 sur d𝑥 égale cinq, en utilisant cette formule, nous avons que la pente de la normale égale moins un sur cinq au point où 𝑛 vaut un. Nous avons donc maintenant la pente de la normale et notre point d'intérêt moins deux, cinq. Nous pouvons donc trouver l'équation de la normale.

Nous connaissons l'équation « point-pente » d'une droite. Il s’agit de la forme que nous utilisons quand nous connaissons la pente et un point de la droite. Cette forme est donnée par 𝑦 moins 𝑦 un égal 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un, où 𝑚 est le gradient et 𝑥 un, 𝑦 un est un point de la droite. Ainsi, en substituant 𝑚 égal moins un sur cinq, 𝑥 un égal moins deux et 𝑦 un égale cinq, nous obtenons que l'équation de la normale est 𝑦 moins cinq égale moins un sur cinq fois 𝑥 moins moins deux.

Évidemment, puisque ce n'est pas une façon très rigoureuse de donner notre réponse, nous allons simplifier ici. Tout d'abord, à l’intérieur des parenthèses, nous avons 𝑥 moins moins deux. Nous savons que lorsque nous soustrayons un nombre négatif, cela revient à additionner. Ainsi, cela revient à 𝑥 plus deux. Nous allons aussi multiplier par cinq pour se débarrasser de cette fraction. Nous obtenons cinq 𝑦 moins 25 égale moins 𝑥 moins deux. Cela revient à avoir moins un avant les parenthèses. Multiplions donc 𝑥 plus deux par moins un.

Nous allons ensuite réarranger pour obtenir notre réponse finale. Essayons d'avoir tous nos termes d'un côté de l'égalité. Ainsi, commençons par ajouter 25 des deux côtés, ce qui nous donne cinq 𝑦 égale moins 𝑥 plus 23. Puis, nous soustrayons cinq 𝑦 des deux côtés, ce qui nous donne notre réponse finale : moins cinq 𝑦 moins 𝑥 plus 23 égale zéro.

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