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Vidéo question :: Déterminer une suite arithmétique vérifiant certaines conditions Mathématiques • Deuxième année secondaire

Déterminez la suite arithmétique dont le vingtième terme est 28, sachant que la somme du troisième et du sixième terme surpasse le neuvième terme de 8 unités.

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Déterminez la suite arithmétique dont le vingtième terme est 28, sachant que la somme du troisième et du sixième terme surpasse le neuvième terme de 8 unités.

Le premier terme de toute suite arithmétique est désigné par la lettre 𝑎. Et la raison est égale à 𝑑. Elle est égale à la différence entre deux termes consécutifs. Le deuxième terme de toute suite arithmétique est par conséquent égal à 𝑎 plus 𝑑. Ajouter un autre 𝑑 à ceci implique que le troisième terme est égal à 𝑎 plus deux 𝑑. Cette logique se poursuit de telle sorte que le 𝑛ième terme est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins un multiplié par 𝑑.

On nous dit dans cette question que le 20ème terme est égal à 28. Cela signifie que 𝑎 plus 19𝑑 est égal à 28. On nous dit également que la somme des troisième et sixième termes est supérieure de huit unités au neuvième terme. Cela signifie que le troisième terme plus le sixième terme est égal au neuvième terme plus huit. Cela peut se traduire par l’équation 𝑎 plus deux 𝑑 plus 𝑎 plus cinq 𝑑 est égal à 𝑎 plus huit 𝑑 plus huit. En regroupant les termes similaires dans le membre de gauche, nous obtenons deux 𝑎 plus sept 𝑑. La soustraction de 𝑎 plus huit 𝑑 des deux membres de cette équation nous donne que 𝑎 moins 𝑑 est égal à huit car deux 𝑎 moins 𝑎 est égal à 𝑎 et sept 𝑑 moins huit 𝑑 est égal à moins 𝑑.

Nous avons maintenant un système de deux équations à deux inconnues que nous pouvons résoudre pour déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑑. Lorsque nous soustrayons l’équation deux de l’équation un, les 𝑎 s’annulent. Soustraire moins 𝑑 revient à ajouter 𝑑. Et 19𝑑 plus 𝑑 est égal à 20𝑑. 28 moins huit est égal à 20. Diviser les deux membres de cette équation par 20 nous donne que 𝑑 est égal à un. La raison de la suite est égale à un. Nous pouvons alors remplacer par cette valeur dans l’équation un ou l’équation deux pour calculer la valeur de 𝑎. En remplaçant dans l’équation deux, nous obtenons que 𝑎 moins un est égal à huit. Ajouter un aux deux membres de cette équation nous donne que 𝑎 est égal à neuf.

Comme le premier terme est égal à neuf et que la raison est égale à un, notre suite arithmétique est donc neuf, 10, 11, etc.

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