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Vidéo de question : Déterminer le cosinus du double d’un angle étant donné le cosinus et le quadrant de cet angle Mathématiques

Déterminez la valeur de cos 2𝐴 sachant que cos 𝐴 = −3/5 avec 90° < 𝐴 < 180°, sans utiliser de calculatrice.

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Transcription de vidéo

Déterminez la valeur du cosinus de deux 𝐴 sachant que le cosinus de 𝐴 est égal à moins trois cinquièmes, avec 𝐴 est compris entre 90 et 180 degrés, sans utiliser de calculatrice.

Pour déterminer cette valeur, on peut utiliser le fait que le cosinus de deux 𝐴 est égal à deux fois le cosinus au carré de 𝐴, moins un. On sait d’après l’énoncé que le cosinus de 𝐴 est égal à trois cinquièmes. On remplace cette valeur dans notre formule et on voit qu’on doit calculer le carré de moins trois cinquièmes. Moins trois au carré est égal à neuf et cinq au carré est égal à 25. Donc on a deux fois neuf sur 25, moins un. On peut calculer deux fois neuf sur 25. Deux fois neuf font 18, qu’on divise par 25. Et on n’oublie pas notre moins un. Pour pouvoir soustraire deux fractions, on a besoin qu’elles aient le même dénominateur, donc on remplace notre moins un par la fraction moins 25 sur 25. On peut alors soustraire les numérateurs, en laissant inchangé notre dénominateur commun de 25. Cela nous donne moins sept sur 25.

Rappelons à présent que d’après l’énoncé, 𝐴 est compris entre 90 et 180 degrés. Cela nous place dans le deuxième quadrant du cercle trigonométrique, entre 90 et 180 degrés. On remarque que les axes sont notés 𝑥 et 𝑦 et il y a une raison à cela. La coordonnée 𝑥 du point du cercle associé à l’angle 𝜃 correspond au cosinus de 𝜃, donc le fait que les valeurs de 𝑥 soient négatives dans le deuxième quadrant implique que notre valeur de 𝜃 doit être négative. Et on a effectivement trouvé une valeur négative, moins sept sur 25.

Notre réponse finale est donc que le cosinus de deux 𝐴 est égal à moins sept sur 25.

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