Vidéo question :: Résoudre des problèmes concrets impliquant des suites arithmétiques Mathématiques

Transcription de la vidéo

Une entreprise souhaite distribuer 14500 livres égyptiennes entre ses cinq meilleurs commerciaux. Le bonus du commercial placé en dernière position est de 1300 livres égyptiennes et la différence de bonus entre les commerciaux est constante. Trouvez le bonus du commercial placé en première position.

Nous avons cinq commerciaux classés du premier au cinquième et qui vont partager cet argent. Le bonus du commercial placé en dernière position, c’est-à-dire le cinquième est de 1300 livres égyptiennes. On nous dit également que la différence de bonus versé aux commerciaux est constante, ce qui signifie que ces montants forment une suite arithmétique de raison 𝑑.

Nous ne savons pas quelle est la valeur de cette raison, mais comme les bonus diminuent, nous savons qu’elle sera négative. Nous connaissons également le montant total d’argent qui sera partagé entre ces cinq personnes. C’est la somme des cinq termes de notre suite arithmétique. Nous savons qu’il existe une formule pour calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique. C’est 𝑆 indice 𝑛 qui est égal à 𝑛 sur deux multiplié par deux 𝑎 plus 𝑛 moins un 𝑑, où 𝑎 représente le premier terme de la suite et 𝑑 représente la raison.

Nous pouvons donc former une équation d’inconnues 𝑎 et 𝑑. En remplaçant la somme des cinq termes par 14500 et 𝑛 par 5, nous obtenons 14500 est égal à cinq sur deux multiplié par deux 𝑎 plus quatre 𝑑. Nous pouvons simplifier cette équation légèrement en éliminant d’abord le facteur deux du membre droit pour nous donner que 14500 est égal à cinq sur un, ou cinq, multiplié par 𝑎 plus deux 𝑑. Et puis nous pouvons diviser les deux membres de l’équation par cinq pour nous donner que 2900 est égal à 𝑎 plus deux 𝑑.

Nous avons maintenant une équation reliant 𝑎 et 𝑑. Mais ce n’est pas suffisant pour nous permettre de déterminer 𝑎 et 𝑑, car nous n’avons qu’une équation et deux inconnues. L’autre information qu’on nous a donnée est que le cinquième terme de la suite est égal à 1300. Cela nous indique que si nous prenons notre premier terme 𝑎 et que nous ajoutons la raison 𝑑 quatre fois alors nous obtenons 1300. Nous avons donc l’équation 𝑎 plus quatre 𝑑 est égal à 1300. Nous avons maintenant un système de deux équations linéaires à deux inconnues 𝑎 et 𝑑 que nous pouvons résoudre simultanément. La soustraction de la première équation de la seconde éliminera les termes en 𝑎 et laissera que deux 𝑑 est égal à moins 1600.

Nous pouvons alors diviser les deux membres de cette équation par deux pour obtenir que 𝑑 est égal à moins 800. Nous avons comme prévu une valeur négative pour 𝑑, ce qui es rassurant. Nous pouvons alors remplacer 𝑑 par sa valeur dans l’une ou l’autre de nos deux équations pour nous donner une équation en 𝑎 seulement, j’ai choisi l’équation un. Nous avons donc que 𝑎 moins 1600 est égal à 2900. En ajoutant 1600 aux deux membres de cette équation, nous trouvons que 𝑎 est égal à 4500. Nous avons donc trouvé la valeur du bonus versé au commercial placé en première position.

Pour vérifier notre réponse, calculons les bonus versés aux autres commerciaux en soustrayant 800 à chaque fois. Cela donne 3.700, 2.900, 2.100. Et si nous soustrayons 800 à nouveau, cela donne en effet 1300. Si nous sommons ensuite ces cinq valeurs ensemble, cela donne naturellement 14500 qui est le total correct. Nous pouvons donc confirmer que le bonus versé au commercial placé en première position est de 4500 livres égyptiennes.