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Vidéo de question : Représenter graphiquement les coordonnées polaires Mathématiques

Identifiez lequel des points tracés sur le graphique a pour coordonnées polaires sont (1, 𝜋/4).

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Transcription de vidéo

Identifiez lequel des points tracés sur le graphique a pour coordonnées polaires sont un, 𝜋/quatre.

On nous donne un graphique avec cinq points représentés, les points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸. Il faut déterminer lequel de ces points a pour coordonnées polaires un, 𝜋 sur quatre. Rappelons d'abord ce que l'on entend par coordonnées polaires. Disons que le point 𝑃 a pour coordonnées polaires 𝑟, 𝜃. Alors, 𝑟 représente la distance de l'origine au point 𝑃. 𝜃 représente l'angle que fait le rayon 𝑂𝑃 avec l'axe des 𝑥 mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Examinons donc les coordonnées polaires qui nous sont données dans la question : un, 𝜋 sur quatre. Nous voyons que le point ayant ces coordonnées polaires aura 𝑟 égale un et 𝜃 égale 𝜋 sur quatre.

Puisque notre valeur de 𝑟 est égale à un et que 𝑟 mesure la distance du point à l'origine, alors notre point doit se trouver sur le cercle de rayon un centré à l'origine. Puisque notre graphique est donné en coordonnées polaires, nous pouvons dessiner le graphique du cercle de rayon un. Puisque notre point doit se trouver sur ce cercle, nous voyons que notre point ne peut pas être le point 𝐵 ou 𝐸. Ils ne se trouvent pas sur ce cercle. En effet, nous pouvons voir que ces deux points sont situés sur le cercle de rayon 2 centré à l'origine. Ainsi, ces deux points auront une valeur de 𝑟 égale deux dans leurs coordonnées polaires.

Puis, le point un, 𝜋 sur quatre aura une valeur 𝜃 de 𝜋 sur quatre. Rappelons que la valeur de 𝜃 sera l'angle que fait le rayon 𝑂𝑃 avec l'axe des 𝑥 si nous le mesurons dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Nous voulons que cet angle soit 𝜋 sur quatre radians. Nous pouvons trouver cet angle de plusieurs façons. La plus simple est d'utiliser cet exemple : nous savons que 𝜋 sur deux sera un angle droit. Autrement dit, notre point 𝐷 formera un angle de 𝜃 égale à 𝜋 sur deux. Nous voulons un angle de 𝜋 sur quatre. Il s'agit de la moitié de 𝜋 sur deux, il suffit donc de diviser cet angle en deux.

En faisant cela, nous obtiendrons le rayon suivant. Chaque point de ce rayon formera un angle de 𝜃 égale à 𝜋 sur quatre. Ainsi, nos deux points 𝐴 et 𝐵 forment un angle de 𝜋 sur quatre. Nous voyons que notre point 𝐴 est le seul point qui se trouve à la fois sur notre cercle de rayon un et sur notre rayon formant un angle de 𝜋 sur quatre. Ainsi, notre réponse doit être le point 𝐴. Cependant, pour terminer, remarquons que le point 𝐶 se trouve sur le rayon dont l'angle est de cinq 𝜋 sur trois. Autrement dit, les coordonnées polaires du point 𝐶 seront un, cinq 𝜋 sur trois.

Nous avons donc la représentation graphique suivante des points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸. Nous avons réussi à montrer que seul le point 𝐴 a pour coordonnées polaires un, 𝜋 sur quatre.

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