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Vidéo de la leçon : Forme polaire d’un vecteur Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment convertir les coordonnées cartésiennes d’un vecteur en coordonnées polaires.

16:27

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous regardons la forme polaire d’un vecteur. On a plus l’habitude de décrire les vecteurs avec ce qu’on appelle les coordonnées cartésiennes. Dans cette leçon, non seulement nous apprendrons ce qu’est la forme polaire d’un vecteur, mais nous apprendrons également comment convertir les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes et vice-versa.

Pour commencer, disons que nous avons un vecteur, appelons-le 𝐕, tracé sur un plan cartésien. Cela signifie que 𝐕 peut être décomposé selon ses composantes 𝑥 et 𝑦. Nous pourrions écrire que 𝐕 est égal à 𝑥 dans le sens de 𝐢 chapeau plus 𝑦 dans le sens de 𝐣 chapeau. Une autre façon d’écrire cela est d’utiliser ces équerres. Nous disons que ce sont les coordonnées cartésiennes du vecteur 𝐕. Nous décrivons le vecteur en utilisant ces coordonnées cartésiennes 𝑥 et 𝑦. En revenant à notre schéma, nous pouvons commencer à voir, cependant, qu’il existe une autre façon de décrire ce même vecteur. Nous pourrions le décrire en fonction de sa distance radiale par rapport à l’origine, nous appellerons cette distance 𝑟, ainsi que l’angle que ce vecteur forme avec l’axe des 𝑥 positif, nous l’appellerons cela 𝜃.

Cette deuxième façon de décrire le vecteur 𝐕, en fonction de 𝑟 et 𝜃, est reliée aux variables 𝑥 et 𝑦. Par exemple, puisque 𝑟 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle où les longueurs des autres côtés sont 𝑥 et 𝑦, nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore pour dire que 𝑟 est égal à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. Puis, concernant l’angle 𝜃, notez que la tangente de cet angle 𝜃 est égal à 𝑦 divisé par 𝑥. Cela implique que la variable 𝜃 est égale à la réciproque de la tangente (ou arctan) de 𝑦 sur 𝑥.

Maintenant, en utilisant nos coordonnées cartésiennes, nous sommes en mesure de représenter le vecteur 𝐕 d’une manière différente. On peut dire qu’il est défini par une distance radiale 𝑟 de l’origine dirigé selon une certaine direction 𝜃 par rapport à l’axe des 𝑥 positif. C’est ce qu’on appelle les coordonnées polaires du vecteur, elles sont entièrement équivalentes aux coordonnées cartésiennes, simplement exprimées de manière différente. L’expression d’un vecteur sous forme polaire peut être utile pour décrire le mouvement de certains objets. Par exemple, si nous avons un objet se déplaçant sur un cercle centré sur l’origine du plan 𝑥𝑦, alors il est plus commode de définir la position de cet objet à différents instants par un vecteur écrit sous forme polaire que cartésienne.

Cela dit, si on nous donne un vecteur sous forme polaire et que nous voulons l’exprimer avec des coordonnées cartésiennes, nous pouvons le faire en utilisant les relations entre 𝑟, 𝜃, 𝑥 et 𝑦 que nous voyons dans le schéma. La variable 𝑥 est égale à 𝑟 fois le cosinus de 𝜃, tandis que 𝑦 est égal à 𝑟 fois le sinus de 𝜃. Sachant 𝑟 et 𝜃, nous pouvons trouver 𝑥 et 𝑦. En utilisant ces relations marquées d’une étoile, nous pouvons passer des formes cartésiennes et polaires d’un vecteur. Entraînons-nous maintenant avec un exemple.

Considérons le vecteur moins deux, trois. Calculez la direction du vecteur, en donnant votre solution sous la forme d’un angle arrondi au degré près, mesuré dans le sens trigonométrique à partir de l’axe des 𝑥 positifs.

Comme on nous donne les composantes du vecteur, commençons par le tracer sur le plan 𝑥𝑦. Disons que chacune de ces graduations représente une distance d’une unité. On nous dit que le vecteur a une composante 𝑥 de moins deux et une composante 𝑦 de plus trois. Cela nous dit que, appliqué à l’origine, le vecteur ressemble à ceci. Nous voulons trouver la direction de ce vecteur, ce que nous ferons à l’aide d’un angle qui part de l’axe des 𝑥 positifs et va jusqu’au vecteur. Nous pouvons donner un nom à cet angle. Appelons-le 𝜃. Rappelons ici que, en général, lorsqu’un vecteur, nous pouvons l’appeler 𝐕, est donné sous forme polaire, alors ce vecteur est défini par une distance radiale de l’origine et un angle par rapport à l’axe des 𝑥 positif.

Dans notre exercice, nous voulons trouver cet angle 𝜃. Pour ce faire, on nous donne un vecteur non pas sous forme polaire mais sous forme cartésienne. En utilisant la donnée de 𝑥 et 𝑦 pour trouver 𝜃, nous sommes en train de passer des coordonnées cartésiennes d’un vecteur à ses coordonnées polaires. Nous disons tout cela parce que la tangente de 𝜃, où 𝜃 est l’angle d’un vecteur sous sa forme polaire, est égal au rapport des coordonnées cartésiennes de ce vecteur, 𝑦 sur 𝑥. Cela nous indique que la tangente de l’angle qui nous intéresse, 𝜃, est égal à trois divisé par moins deux. Puis, si nous prenons la réciproque de la tangente (ou l’arc tangente) des deux côtés, le côté gauche se simplifie pour donner l’angle que nous voulons trouver.

Maintenant, si nous évaluons cette expression sur notre calculatrice au centième de degré près, nous trouvons un résultat de moins 56,31 degrés. En regardant le schéma, nous voyons que cela ne peut pas être l’angle 𝜃. Ce qui se passe ici, c’est que, puisque la valeur de 𝑥 dans cette fraction est négative – autrement dit, le vecteur avec lequel nous travaillons se trouve dans le deuxième ou le troisième quadrant – alors pour calculer correctement l’angle, nous devons prendre le résultat calculé et y ajouter 180 degrés. Pour tout vecteur avec une composante 𝑥 négative comme c’est le cas ici, on effectue cette opération afin de calculer correctement sa direction.

Ainsi, si nous ajoutons ces deux angles ensemble, nous obtenons un résultat de 123.69 degrés. En se souvenant de donner la réponse arrondie au degré près, nous pouvons voir que 𝜃 est égal à 124 degrés. Il s’agit de la direction du vecteur au degré près mesurée dans le sens trigonométrique à partir de l’axe des 𝑥 positif.

Voyons maintenant un exemple où nous convertissons entièrement les coordonnées cartésiennes d’un vecteur en ses coordonnées polaires.

Si 𝐀 est égal à moins 𝐢 moins 𝐣, alors la forme polaire de 𝐀 est, blanc. (A) Racine de deux, 𝜋 sur quatre, (B) racine de deux, trois 𝜋 sur quatre, (C) racine de deux, cinq 𝜋 sur quatre, (D) racine de deux, sept 𝜋 sur quatre.

Très bien, donc étant donné ce vecteur 𝐀 sous forme cartésienne, nous voulons trouver sa forme polaire. Une autre façon d’écrire 𝐀 sous forme cartésienne est de l’exprimer en fonction de ses composantes 𝑥 et 𝑦 comme ceci. Maintenant, rappelons que pour un vecteur exprimé sous forme polaire, nous ne le donnons pas par ses composantes 𝑥, 𝑦, mais par 𝑟 et 𝜃. Ici, 𝑟 est égal à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré et la tangente de 𝜃 est égale à 𝑦 divisé par 𝑥. En utilisant ces relations, nous pouvons alors passer des coordonnées cartésiennes de 𝐀 à ses coordonnées polaires.

Ces coordonnées polaires, comme nous l’avons vu, sont définies par une distance radiale et un angle. On sait que 𝑟 est égal à la racine carrée de la composante 𝑥 au carré plus la composante 𝑦 au carré. C’est égal à la racine carrée de un plus un ou racine carrée de deux, nous allons donc utiliser ce résultat à la place de 𝑟 dans la forme polaire de 𝐀. Mais en regardant à nouveau les différentes réponses possibles, on peut voir que cela n’élimine aucune option. Les quatre choix ont la même valeur de racine carrée de deux pour 𝑟. Passons donc au calcul de l’angle 𝜃 du vecteur. Pour nous aider, il sera utile de tracer le vecteur sur un plan de coordonnées.

Disons que chacune de ces graduations représente une unité de distance. Puisque le vecteur a comme coordonnées cartésiennes moins un et moins un, si le point d’application du vecteur est à l’origine, alors le vecteur ressemble à ceci. L’angle 𝜃, définissant sa direction, est mesuré depuis l’axe des 𝑥 positifs au vecteur. Nous voyons donc que 𝜃 est supérieur à 𝜋 radians mais inférieur à trois 𝜋 sur deux. Nous pouvons maintenant utiliser cette relation ici pour résoudre le problème. Nous savons que les composantes 𝑥 et 𝑦 du vecteur sont toutes deux négatives. Ici, nous avons pris la tangente réciproque des deux côtés de l’expression de tangente 𝜃, ce qui signifie que 𝜃 est égal à l’arc tangente (ou tangente réciproque) de moins un divisé par moins un.

Alors, voici ce qui est intéressant. Si nous évaluons cette tangente inverse sur notre calculatrice, le résultat que nous obtenons est exactement 𝜋 divisé par quatre. Mais en regardant le vecteur sur la figure, nous savons que cela ne peut pas être le bon angle pour 𝜃. Ici, nous devons rappeler la règle selon laquelle lorsque nous calculons une tangente réciproque avec une valeur 𝑥 négative dans la fraction, alors pour trouver l’angle 𝜃 correct mesuré par rapport à l’axe des 𝑥 positif, nous devons ajouter 𝜋 radians au résultat. En faisant cela, nous évitons une erreur possible dans le calcul de 𝜃. Cette erreur potentielle vient de la fonction tangente.

Il suffit de dire qu’à chaque fois que nous calculons la tangente réciproque d’une fraction avec une valeur négative de 𝑥, c’est-à-dire chaque fois que notre vecteur est dans le deuxième ou le troisième quadrant, nous devrons ajouter 𝜋 radians ou 180 degrés, selon le cas, afin de trouver l’angle correct par rapport à l’axe des 𝑥 positif. 𝜋 sur quatre plus 𝜋 est égal à cinq 𝜋 sur quatre. En substituant cette valeur pour 𝜃 dans la forme polaire de 𝐀, nous voyons que les coordonnées polaires de 𝐀 sont racine carrée de deux, cinq 𝜋 sur quatre. Nous trouvons que cela correspond à l’option (C) parmi nos choix de réponses. Ainsi, en résumé, si 𝐀 est égal à moins 𝐢 moins 𝐣, alors les coordonnées polaires de 𝐀 sont racine carrée de deux, cinq 𝜋 sur quatre.

Voyons maintenant un exemple où nous passons des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes.

Si 𝐀 est égal à sept, cinq 𝜋 sur trois, alors le vecteur 𝐀, en termes de vecteurs unitaires de base, est, blanc. (A) Sept demis de 𝐢 plus sept racine de trois sur deux 𝐣. (B) Moins sept racine de trois sur deux 𝐢 plus sept demis de 𝐣. (C) Sept demis de 𝐢 moins sept racine de trois sur deux 𝐣. (D) Sept racine de trois sur deux 𝐢 plus sept demis de 𝐣.

Alors, dans ce cas nous avons un vecteur 𝐀 donné sous forme polaire et nous voulons l’exprimer en fonction des vecteurs unitaires de base. Ces vecteurs sont 𝐢 chapeau et 𝐣 chapeau. Pour ce faire, nous devrons passer de la forme polaire du vecteur 𝐀 à sa forme cartésienne. Nous pouvons commencer par rappeler que lorsqu’un vecteur est donné sous forme polaire, on a alors une distance radiale à l’origine du plan de coordonnées ainsi que le sens 𝜃 dans lequel ce vecteur pointe par rapport à l’axe des 𝑥 positifs de ce plan. Ainsi, si notre vecteur 𝐕, par exemple, ressemble à ceci, alors 𝑟 est la longueur du vecteur et 𝜃 est cet angle-ci.

Sachant cela, nous pouvons trouver les composantes 𝑥 et 𝑦 correspondantes de ce vecteur. La composante 𝑥 est égale à 𝑟 fois cosinus 𝜃, et la composante 𝑦 est égale à 𝑟 fois sinus 𝜃. Concernant le vecteur 𝐀 donné, nous pouvons dire qu’en termes des vecteurs unitaires de base 𝐢 chapeau et 𝐣 chapeau, 𝐀 est égal à 𝑥 fois 𝐢 chapeau plus 𝑦 fois 𝐣 chapeau. Nous voyons dans notre figure que cela est égal à 𝑟 fois cosinus 𝜃 𝐢 chapeau plus 𝑟 fois sinus 𝜃 𝐣 chapeau, où 𝑟 est égal à sept et 𝜃 cinq 𝜋 sur trois. Nous savons cela car le vecteur 𝐀 est ainsi donné dans l’énoncé du problème.

Alors maintenant, si nous remplaçons les valeurs connues de 𝑟 et 𝜃, nous constatons que 𝑥 est égal à sept fois cosinus de cinq 𝜋 sur trois et 𝑦 est égal à sept fois sinus de ce même angle. Cosinus de cinq 𝜋 sur trois est exactement égal à un demi, tandis que sinus de cinq 𝜋 sur trois est égal à moins racine de trois sur deux. Ainsi, 𝑥 est égal à sept demis et 𝑦 est égal à moins sept racine de trois sur deux. Par conséquent, le vecteur 𝐀 est égal à sept demis de 𝐢 moins sept racine de trois sur deux 𝐣. Si nous examinons les différentes réponses possibles, nous voyons que cela correspond à l’un des choix. Le vecteur 𝐀 en termes des vecteurs unitaires de base est égal à sept demis de 𝐢 moins sept racine de trois sur deux 𝐣.

Voyons maintenant un exemple faisant intervenir la norme de vecteurs.

Si 𝐀 est égal à trois 𝐢 plus quatre 𝐣, 𝐁 est égal à quatre 𝐣 et 𝐂 est égal à six ; 𝜋 sur 10, alors la norme de 𝐀 plus la norme de 𝐁 plus la norme de 𝐂 est, blanc. (A) 15, (B) six, (C) 11, (D) 10.

Bien, alors nous avons ces trois vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂. Nous voulons trouver la somme de leurs normes. En général, pour un vecteur donné par ses composantes 𝑥 et 𝑦, sa norme est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ces composantes. Nous pouvons appliquer cette règle aux vecteurs 𝐀 et 𝐁 pour trouver leur norme respective. La norme de 𝐀 est égale à la racine carrée de trois au carré plus quatre au carré. Cela donne la racine carrée de 25 ou simplement cinq. Puis, nous pouvons appliquer la même règle au vecteur 𝐁. Mais notez que comme il n’y a qu’une seule composante, sa norme est égale à la valeur absolue de cette composante. Le vecteur 𝐁 a une norme de quatre.

Puis enfin, nous voulons calculer la norme du vecteur 𝐂, qui n’est pas donné par ses composantes cartésiennes, mais sous forme polaire. Quand un vecteur est donné sous cette forme, on nous donne la distance radiale du vecteur par rapport à l’origine, en d’autres termes, la longueur du vecteur, ainsi que la direction vers laquelle le vecteur pointe. Ainsi, la bonne chose est que pour un vecteur donné sous cette forme, nous connaissons déjà sa norme. Il s’agit de la distance radiale 𝑟. En regardant le vecteur 𝐂 alors, nous pouvons simplement lire sa norme. Elle a une valeur de six. Ainsi, lorsque nous additionnons ces trois grandeurs, nous obtenons cinq plus quatre plus six, soit 15. Étant donné ces trois vecteurs 𝐀, 𝐁 et 𝐂, la somme de leurs normes est 15.

Terminons maintenant notre leçon en résumant quelques points clés. Nous avons vu qu’un vecteur dans le plan peut être exprimé sous forme cartésiennes ou polaire. Pour un vecteur 𝐕, sa forme cartésienne fait intervenir les composantes 𝑥 et 𝑦, tandis que sa forme polaire fait intervenir une distance radiale 𝑟 et un angle 𝜃. Graphiquement, ces quatre variables sont reliées comme ceci, où 𝑟 est la norme du vecteur 𝐕, 𝜃 est son angle par rapport à l’axe des 𝑥 positifs, et 𝑥 et 𝑦 sont ses composantes respectives. Pour passer ensuite des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires d’un vecteur, nous pouvons utiliser ces relations pour 𝑟 et 𝜃. Et à l’inverse pour passer de la forme polaire à cartésienne, nous savons que 𝑥 est égal à 𝑟 cosinus 𝜃 et 𝑦 est égal à 𝑟 sinus 𝜃.

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