Transcription de la vidéo
Laquelle des courbes suivantes a pour équation 𝑦 égale sinus de 𝑥 moins 90 ?
On commence par rappeler quelques principales caractéristiques de la courbe représentative de la fonction sinus. La fonction 𝑓 de 𝑥 égale sinus 𝑥 a une période de deux 𝜋 radians ou 360 degrés. Les cinq graphes donnés montrent une mise à l'échelle le long de l'axe des 𝑥 par incréments de 90 degrés. La fonction sinus principale a une amplitude de un, qui correspond à la hauteur entre l’axe central et le sommet ou le creux. Les cinq graphes donnés présentent des fonctions sinusoïdales dont l'amplitude est de un.
Lorsque l'on trace le graphe de la fonction sinus, on commence généralement par le point zéro, zéro puis on trace quatre autres points importants entre zéro et 360. Ces points sont : 90, un ; 180, zéro ; 270, moins un ; et 360, zéro. Cette forme se reproduit à chaque période de 360 degrés vers la gauche et vers la droite. Le graphe de 𝑓 de 𝑥 moins 90 s'obtient après une transformation de la fonction sinus. On rappelle qu'une translation horizontale ou un déphasage de moins 𝑏 est représenté par 𝑓 de 𝑥 plus 𝑏.
Dans cet exemple, la valeur de 𝑏 est moins 90. Cela signifie que le décalage horizontal de moins 𝑏 est moins moins 90, ce qui est égal à 90 et translate tous les points vers la droite de 90 degrés. Une translation horizontale ne modifie ni l'amplitude ni la période de la fonction sinus. Ainsi, on cherche les cinq points de la fonction sinus simplement décalés de 90 vers la droite, sans changement de période ou d'amplitude.
Examinons de plus près le graphe (A). On peut tracer une période de la fonction sinus, en commençant par le point zéro, un. On remarque que ce graphe a été déplacé verticalement d'exactement une unité vers le haut. Une translation verticale est illustrée en ajoutant une valeur à la fonction au lieu d'ajouter une valeur directement à 𝑥. Cela semble être le graphe du sinus 𝑥 plus un. Donc, on élimine l'option (A).
Passons au graphe (B), on remarque que la longueur de la période a été modifiée à 180, qui est la moitié de la période que nous recherchons. Ce type de transformation est appelé changement de période ou étirement horizontal par un facteur d'échelle de un sur 𝑑, où la fonction s'écrit comme 𝑓 de 𝑑 fois 𝑥. Pour prendre la moitié de la période, on utilise 𝑑 égale deux. Donc, c'est la fonction sinus deux 𝑥. Ainsi, on élimine l'option (B) et on passe au graphe (C).
Après avoir précisé une période de la courbe (C), on remarque qu'il s'agit de la fonction sinus de 𝑓 de 𝑥 égale sinus 𝑥. Comme le graphe (C) ne présente aucune transformation, on élimine cette option. Le graphe (D) présente un changement de période. Au lieu de 360 degrés, ce graphe semble avoir une période d'environ 120 degrés. Ce graphe semble également avoir un décalage horizontal de 30 vers la gauche. On cherche un graphe sinusoïdal avec une période de 360 degrés et un décalage horizontal de 90 degrés vers la droite. Nous écartons donc l'option (D).
Il ne reste donc qu'étudier le graphe (E). Commençons par tracer une période de la fonction sinus. Ce graphe a été déplacé de 90 vers la droite et a toujours une longueur de période de 360 et une amplitude de un. Par conséquent, on a prouvé que l'option (E) est le graphe de la fonction 𝑦 égale sinus 𝑥 moins 90.