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Vidéo de la leçon : Grandeurs et unités en mécanique Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les grandeurs de base et dérivées utilisées en mécanique, telles que la longueur, le temps et la vitesse, et à identifier leurs unités et leurs facteurs de conversion.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les grandeurs de base et dérivées utilisées en mécanique, telles que la longueur, le temps et la vitesse, et à identifier leurs unités et leurs facteurs de conversion.

Une unité est une mesure définie d’une grandeur. Toute autre mesure de la même grandeur peut être exprimée comme un multiple de l’unité. Par exemple, le kilogramme est une unité de masse. Et toute masse, telle que la masse d’une personne, peut être définie comme un multiple de cette unité. Des unités de mesure spécifiques sont arbitraires et peuvent être définies selon les situations. Par exemple, les degrés et les radians sont deux unités d’angles qui ont été définies pour être utiles dans certains contextes.

Les radians sont généralement plus utiles dans les problèmes mathématiques tels que la trigonométrie car les fonctions sinus et cosinus sont définies en radians. Les angles en degrés, minutes et secondes doivent donc d’abord être convertis en radians avant de pouvoir leur appliquer des fonctions trigonométriques. Mais cette unité représente les angles de manière beaucoup plus intuitive pour la majorité des personnes. Ces deux unités décrivent cependant la même grandeur, également appelée dimension, qui est dans ce cas un angle.

Tous les systèmes d’unités ont une unité pour chaque grandeur physique. Et le système d’unités le plus utilisé est le Système International d’unités, ou SI. Le Système International d’unités se compose de sept unités de base pour les grandeurs de base suivantes : pour la masse, le kilogramme ou kg ; pour le temps, la seconde, s; pour la longueur, le mètre, m ; pour l’intensité électrique, l’ampère, grand A ; pour la quantité de matière, la mole, mol ; pour l’intensité lumineuse, le candela, cd ; et pour la température, le Kelvin, grand K. Chacune de ces grandeurs de base est également accompagnée d’un symbole de dimension, qui est utilisé dans l’analyse dimensionnelle, comme nous le verrons un peu plus tard.

Le Système International d’unités forme un système cohérent, ce qui signifie que toute autre grandeur physique peut être exprimée comme un produit de puissances de ces sept unités de base. Voyons donc avec un exemple comment déterminer l’unité du SI d’une grandeur ne faisant pas partie des sept grandeurs de base.

La vitesse est égale à la distance parcourue pendant une période de temps. Laquelle des unités suivantes n’est pas une unité de vitesse ? Est-ce (a) le centimètre par seconde, (b) le mètre par seconde, (c) le mètre par seconde carrée, (d) le mètre par minute ou (e) le kilomètre par heure ?

Puisque la vitesse est égale à la distance parcourue pendant une période de temps, la vitesse 𝑣 est définie par la formule 𝑣 égale 𝑑 sur 𝑡, où 𝑑 est la distance et 𝑡 est le temps écoulé. Nous pouvons déterminer la dimension de la vitesse en effectuant une analyse dimensionnelle de cette formule. Cela consiste simplement à remplacer chaque variable du membre droit de l’équation par sa dimension. Donc dans ce cas, la distance 𝑑 a pour dimension la longueur L et le temps écoulé 𝑡 a bien sûr pour dimension le temps grand 𝐸. Les deux membres de l’équation doivent avoir la même dimension. Par conséquent, la dimension de 𝑣 doit être la même que la dimension de 𝑑 sur 𝑡, c’est-à-dire grand L sur grand 𝐸.

Nous pouvons maintenant comparer cela avec chaque proposition pour voir laquelle n’a pas une unité représentant la dimension L sur 𝐸. Pour la réponse (a), on a le centimètre, qui est un multiple du mètre, l’unité de base de longueur. Et on a la seconde, qui est l’unité de base du temps. Donc, la réponse (a) a pour dimension L sur 𝐸. Il s’agit donc bien d’une unité de vitesse.

Pour la réponse (b), on a simplement l’unité de base de longueur sur l’unité de base du temps. Donc, il s’agit également d’une unité de vitesse. Pour la réponse (c), on a l’unité de base de la longueur, le mètre, divisée par l’unité de base seconde au carré. Donc, sa dimension est L sur 𝐸 au carré. Par conséquent, la réponse (c) n’est pas une unité de vitesse. Vérifions tout de même les autres propositions : pour la réponse (d), on a à nouveau l’unité de base de longueur divisée par la minute, qui est un multiple de la seconde. On a donc une fois de plus la longueur sur le temps. Et de même, pour (e), on a le kilomètre, qui est un multiple du mètre, divisé par l’heure, qui est un multiple de la seconde. Nous avons donc encore une fois L sur 𝐸. Par conséquent, la bonne réponse est (c). Le mètre par seconde carrée n’est pas une unité de vitesse.

Il est parfois nécessaire d’effectuer plus d’une étape pour déduire l’unité du SI d’une grandeur n’appartenant pas aux sept grandeurs de base. Ces grandeurs et unités ont cependant souvent un nom dédié. Le Système International d’unités contient en effet 22 autres grandeurs dérivées. Voici quelques exemples. Comme vous pouvez le voir, beaucoup d’entre elles sont des grandeurs fondamentales avec des unités que vous connaissez peut-être déjà, telles que le newton pour la force. Certaines d’entre elles peuvent même être surprenantes, comme le coulomb pour la charge électrique. On pourrait penser que la charge électrique est une grandeur plus fondamentale que l’intensité. Mais il s’avère que l’intensité électrique est plus facile à quantifier dans la pratique.

Toutes ces unités dérivées peuvent être écrites comme un produit de puissances des unités de base du SI. Le newton est par exemple défini comme un kilogramme puissance un fois un mètre puissance un divisé par une seconde au carré. Certaines grandeurs, telles que l’angle dans un plan, sont même des grandeurs sans dimension ou adimensionnelles. C’est parce que ce sont des produits des unités de base du SI toutes élevées à la puissance zéro.

En prenant l’angle dans un plan à titre d’exemple, on peut considérer un angle comme une sorte de proportion. Par exemple, l’angle de 𝜋 radians est égal à un demi du cercle, ou à la moitié de la circonférence du cercle divisée par sa circonférence complète. Ces deux grandeurs sont des longueurs. Donc, le radian a en réalité pour unité de base du SI des mètres sur des mètres, ou des mètres puissance zéro. Et bien sûr, toute valeur élevée à la puissance zéro est simplement égale à un. Certaines de ces unités, comme le volt pour la tension électrique, peuvent devenir assez compliquées en termes d’unités de base du SI. Voyons avec un exemple comment exprimer ces unités plus complexes à partir des sept unités de base.

L’énergie cinétique, qui est mesurée en joules, est définie par E égale un demi de 𝑚𝑣 carré. Laquelle des unités suivantes est équivalente au joule ? a) Le kilogramme par mètre par seconde carrée. (b) Le kilogramme mètre par seconde. (c) Le kilogramme mètre carré par seconde carrée. (d) Le kilogramme par mètre carré par seconde carrée. Ou (e) le kilogramme mètre par seconde carrée.

Étudions l’équation de l’énergie cinétique : E égale un demi de 𝑚𝑣 au carré, où E est l’énergie cinétique, 𝑚 est la masse et 𝑣 est la vitesse. Dans une équation représentant des grandeurs physiques, les dimensions des grandeurs des deux membres doivent être identiques. Par conséquent, la dimension de l’énergie cinétique E doit être égale à la dimension d’un demi fois la dimension de 𝑚 fois la dimension de 𝑣 au carré. Un demi n’est qu’un nombre. Par conséquent, il est sans dimension. 𝑚 est simplement une masse, donc elle a pour dimension la masse. La vitesse au carré est un peu plus compliquée car ce n’est pas une grandeur de base du SI.

Pour trouver la dimension de la vitesse au carré en fonction des dimensions de base du SI, nous devons commencer par étudier la formule de la vitesse. On rappelle que la vitesse est égale au déplacement 𝑑 divisé par le temps écoulé 𝑡. La vitesse est donc à présent exprimée uniquement en fonction de grandeurs de base du SI, la longueur et le temps. Le déplacement a pour dimension la longueur L et le temps écoulé a pour dimension le temps 𝐸. Par conséquent, 𝑣 au carré est égal à 𝑑 au carré sur 𝑡 au carré et a pour dimension L au carré sur grand 𝐸 au carré. En replaçant tous ces éléments dans l’équation d’origine de l’énergie cinétique, on trouve que la dimension de l’énergie cinétique E est égale à un fois M fois L au carré sur 𝐸 au carré.

Nous pouvons maintenant substituer les unités de base du SI pour chacune de ces grandeurs. La dimension un n’a pas d’unité spécifique. Pour la masse M, on a le kilogramme. Pour la longueur L, on a le mètre, ici au carré. Et pour le temps 𝐸, on a la seconde, également au carré. En regroupant tout cela on trouve que l’unité de l’énergie cinétique en fonction des unités de base du SI est le kilogramme mètre carré par seconde carrée. En comparant cela avec les réponses proposées, on voit que cela correspond à la réponse (c) kilogramme mètre carré par seconde carrée.

Il n’est parfois pas pratique ou utile d’exprimer l’unité d’une grandeur en fonction des unités de base du SI. Par exemple, le moment 𝜏 représente l’effet de rotation d’une force et est défini par 𝜏 égale 𝐹𝑑, où 𝐹 est la force et 𝑑 est la distance perpendiculaire au point de rotation. Si on effectue une analyse dimensionnelle de cette équation pour trouver l’unité du SI du moment, on commence par remarquer que 𝐹 a pour dimension la force et que 𝑑 a pour dimension la longueur, cette dernière étant une dimension de base du SI. Pour trouver la dimension de la force, on utilise la deuxième loi du mouvement de Newton qui stipule que la force est égale à la masse fois l’accélération ; on la convertit ensuite en masse fois vitesse sur le temps, que l’on convertit en masse fois distance sur le temps divisé par le temps.

En simplifiant le membre droit, on obtient 𝑚𝑑 sur 𝑡 au carré, qui est entièrement exprimé en grandeurs de base du SI et qui a pour dimension ML sur 𝐸 au carré. Par conséquent, la dimension de la force en fonction des dimensions de base du SI est ML sur 𝐸 au carré. La force a donc pour unité de base du SI le kilogramme mètre par seconde carrée.

En substituant la dimension de la force dans la formule du moment, on trouve que la dimension du moment est égale à ML au carré sur 𝐸 au carré. Par conséquent, l’unité du moment en fonction des unités de base du SI est le kilogramme mètre carré par seconde carrée. C’est exactement la même unité que l’unité de l’énergie, même si les deux grandeurs ne représentent pas la même chose. Cela ne devrait pas être trop surprenant cependant, car dans un contexte différent, la force fois la distance donne également le travail fourni, ou l’énergie. C’est une des raisons pour lesquelles certaines grandeurs dérivées, telles que l’énergie, ont des noms dédiés pour leurs unités, car ils nous aident à comprendre l’unité dans son contexte.

Le moment n’a en réalité pas sa propre unité. Et la convention la plus courante est d’utiliser le newton mètre, un newton fois un mètre. Même si ce sont techniquement les mêmes unités, chaque fois que vous rencontrerez des joules, ce sera généralement dans un contexte d’énergie ou de travail fourni. Et chaque fois que vous verrez des newtons mètres, ce sera généralement dans un contexte de moments.

Une autre convention courante consiste à utiliser des unités d’ampleur différentes par rapport aux unités de base du SI. Par exemple, l’unité de base du SI pour la vitesse est le mètre par seconde. Mais dans différents contextes, par exemple pour la vitesse d’une voiture, on utilise plus souvent le kilomètre par heure par commodité. On rencontre souvent des grandeurs exprimées dans différentes unités. Dans de tels cas, on commence généralement par convertir toutes les grandeurs en unités de base du SI. Voyons un exemple de conversion d’unités en unités de base du SI.

Combien font 2,87 fois 10 puissance sept dynes en newtons ?

La dyne est définie comme un gramme centimètre par seconde carrée et est particulièrement utile lorsqu’il s’agit de très petites forces, telles que la tension de surface. Le newton est une unité dérivée du SI et est définie en fonction des unités de base du SI comme un kilogramme mètre par seconde carrée. Nous pouvons maintenant convertir toutes les unités du membre droit de l’équation de la dyne en unités de base du SI.

Tout d’abord, un gramme est égal à un kilogramme divisé par 1 000, ce qui équivaut à 10 puissance moins trois kilogrammes. De même, un centimètre est égal à un mètre divisé par 100, ce qui équivaut à 10 puissance moins deux mètres. Et le dernier terme, seconde carrée, est déjà exprimé en fonction des unités de base du SI. Donc, nous pouvons le laisser tel quel. En substituant ces conversions dans l’équation de la dyne, on trouve qu’une dyne est égale à un fois 10 puissance moins trois kilogrammes fois 10 puissance moins deux mètres sur des secondes carrées. En regroupant les puissances de 10, on obtient 10 puissance moins cinq kilogrammes mètres carrés par seconde carrée. Donc, une dyne est égale à 10 puissance moins cinq newtons.

Si on multiplie maintenant les deux membres de l’équation par 2,87 fois 10 puissance sept, on obtient le nombre de dynes en newtons. En simplifiant le membre droit, on obtient notre réponse finale. 2,87 fois 10 puissance sept dynes égale 287 newtons.

Parfois, la conversion en unités de base du SI n’implique pas simplement de multiplier par une puissance de 10. Dans le dernier exemple, nous allons voir comment convertir des unités non standard en unités de base du SI et inversement.

Laquelle des égalités suivantes est fausse ? a) 72 kilomètres par heure égale 20 mètres par seconde. b) Trois kilomètres par minute égale 50 centimètres par seconde. c) 15 mètres par seconde égale 54 kilomètres par heure. Ou (d) 42 mètres par minute égale 70 centimètres par seconde.

Pour vérifier chaque égalité, nous devons convertir les unités d’un membre de l’égalité dans les unités de l’autre membre. Nous allons ici convertir les unités du membre gauche de chaque égalité dans les unités du membre droit puis comparer les coefficients pour vérifier s’ils sont égaux.

En commençant par (a), nous devons convertir des kilomètres en mètres et des heures en secondes. Un kilomètre est égal à 1 000 mètres, et une heure est égale à 3 600 secondes. 72 kilomètres par heure est donc égal à 72 fois 1 000 mètres par 3600 secondes. Il peut être utile d’écrire cela sous forme de fraction afin de voir plus clairement les multiplications et les divisions. On a donc 72 000 mètres divisés par 3 600 secondes. En simplifiant, on obtient 20 mètres divisés par une seconde, ou 20 mètres par seconde. Par conséquent, l’égalité (a) est vraie.

Pour l’égalité (b), nous devons convertir des kilomètres en centimètres et des minutes en secondes. Un kilomètre égale 1 000 mètres. Donc, en centimètres, un kilomètre est égal à 100 000 centimètres, ou 10 puissance cinq centimètres. Et une minute est égale à 60 secondes. Donc trois kilomètres par minute égale trois fois 10 puissance cinq centimètres divisé par 60 secondes. En simplifiant cette fraction, on trouve que trois kilomètres par minute est égal à 5 000 centimètres par seconde. Par conséquent, l’égalité (b) est fausse : trois kilomètres par minute n’est pas égal à 50 centimètres par seconde.

Terminons cette vidéo en récapitulant quelques points clés. Le Système International d’unités, ou SI, contient sept unités de base pour sept grandeurs physiques de base. Toutes les autres grandeurs physiques ont une unité qui peut être exprimée comme un produit de puissances de ces sept unités de base. On peut trouver l’unité de toute grandeur physique en fonction des unités de base du SI en effectuant une analyse dimensionnelle de la formule de cette grandeur. Enfin, les unités de grandeurs non standards peuvent être converties en unités du SI en les multipliant par le facteur approprié. Par exemple, une heure est égale à 3 600 fois une seconde.

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