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Vidéo de question : Trouvez une inconnue en calculant des arrangements Mathématiques

Déterminez l’ensemble solution de 42 (𝑥 + 3) ₃ = (𝑥 + 5)₅.

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Transcription de vidéo

Trouvez l’ensemble solution de 42 fois 𝑥 plus trois trois est égal à 𝑥 plus cinq cinq.

La notation 𝑛𝑟 représente le nombre d’arrangements de 𝑟 objets uniques tirés d’une collection de 𝑛 objets uniques. Et elle est égale à 𝑛 factorielle divisé par 𝑛 moins 𝑟 factorielle. La factorielle d’un entier positif 𝑛 est définie comme le produit de tous les entiers positifs de un à 𝑛 inclus. Et de manière compacte, nous pouvons écrire que 𝑛 factorielle égale 𝑛 fois 𝑛 moins un factorielle. En utilisant cette relation de récurrence de la factorielle, nous pouvons en fait déduire une relation de récurrence similaire pour 𝑛𝑟.

Cette relation est telle que 𝑛𝑟 égale 𝑛 fois 𝑛 moins un 𝑟 moins un. Il existe un certain nombre de manières pour déduire cette identité. Mais la manière la plus simple de s’assurer de sa validité est de calculer 𝑛 moins un 𝑟 moins un . Ceci nous donne 𝑛 moins un factorielle divisé par 𝑛 moins 𝑟 factorielle. Si nous multiplions par 𝑛, nous obtenons 𝑛 fois 𝑛 moins un factorielle divisé par 𝑛 moins 𝑟 factorielle. Mais notre définition des factorielles nous dit que 𝑛 fois 𝑛 moins un factorielle est simplement 𝑛 factorielle. Nous avons donc 𝑛 factorielle divisé par 𝑛 moins 𝑟 factorielle, ce qui correspond, bien sûr, à la définition de 𝑛𝑟. Cette identité sera très utile pour résoudre notre équation.

Nous observons que 𝑥 plus cinq est 𝑥 plus trois plus deux et que cinq est trois plus deux. Donc en appliquant notre identité une fois, nous voyons que 𝑥 plus cinq cinq est égal à 𝑥 plus cinq fois 𝑥 plus quatre quatre. Si nous appliquons l’identité une seconde fois, cette fois à 𝑥 plus quatre quatre, nous voyons que 𝑥 plus cinq cinq est égal à 𝑥 plus cinq fois 𝑥 plus quatre fois 𝑥 plus trois trois, où nous avons remplacé 𝑥 plus quatre fois 𝑥 plus trois trois par 𝑥 plus quatre quatre en utilisant notre identité. Nous pouvons maintenant identifier ce terme qui est équivalent au membre de droite de notre équation à l’expression figurant dans le membre de gauche.

Notez que le facteur commun aux deux membres de l’équation à savoir l’entier non nul 𝑥 plus trois trois. Si nous divisons les deux membres par ce nombre, nous constatons que 42 est égal à 𝑥 plus cinq fois 𝑥 plus quatre. Nous allons résoudre cette équation du second degré en nous basant sur le fait que 𝑥 plus cinq et 𝑥 plus quatre sont des entiers consécutifs supérieurs à un. Puisque 42 est le produit de deux entiers consécutifs supérieurs à un, ces entiers sont très proches de la racine carrée de 42. La racine carrée de 42 est égale à environ 6,5 qui est compris entre six et sept. Donc notre première supposition est que 𝑥 plus quatre est égal à six et que 𝑥 plus cinq est égal à sept, et en effet, sept fois six est égale à 42.

Parce que ces deux produits sont égaux, nous concluons que 𝑥 plus quatre est égal à six et que 𝑥 plus cinq est égal à sept, ce qui signifie que 𝑥 est égal à deux. Il existe une autre solution pour 𝑥, lorsque 𝑥 plus cinq est égal à moins six et que 𝑥 plus quatre est égal à moins sept parce que moins six fois moins sept est aussi égale à 42. Cependant, dans ce cas, nous aurions que 𝑥 est égal à moins 11. Mais la notation 𝑛𝑟 vient avec l’hypothèse implicite que 𝑛 est supérieur ou égal à 𝑟. Une hypothèse nécessaire à notre problème est donc que 𝑥 plus cinq est supérieur ou égal à cinq parce que nous avons un symbole d’arrangement où 𝑛 est égal à 𝑥 plus cinq et 𝑟 est égal à cinq.

Mais cette condition est équivalente à dire que 𝑥 doit être supérieur ou égal à zéro. Ainsi bien que cette équation du second degré ait deux solutions, 𝑥 est égal à deux et 𝑥 est égal à moins 11, la seule solution qui répond à la contrainte supplémentaire imposée par l’équation initiale à savoir que 𝑥 est supérieur ou égal à zéro est la solution 𝑥 est égal à deux. Ainsi bien que l’ensemble solution de l’équation du second degré que nous avons trouvé comporte deux éléments, l’ensemble solution de notre équation initiale n’a qu’un seul élément qui est deux.

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