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Vidéo : Volume d’un prisme

Anne-Claire Dupuis

Dans cette vidéo, apprends à calculer le volume d’un prisme en multipliant sa hauteur par l’aire de sa base.

11:41

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer le volume d’un prisme.

Donc ici il y a deux mots-clés dans le titre qu’il est important de bien connaître : le volume d’abord, donc rappelons-nous que le volume d’un solide c’est l’espace qu’il occupe, et le prisme est un solide particulier qui a deux faces parallèles et superposables, et dont les autres faces sont des rectangles.

Voilà, on va pouvoir dire aussi qu’il a une section droite constante, c’est-à-dire que peu importe l’endroit où je vais couper le prisme parallèlement à une, ou deux faces parallèles, je vais toujours retrouver la même face qu’on appelle aussi la base du prisme ; je vais toujours retrouver la même forme géométrique.

Des exemples particuliers de prismes bien connus sont évidemment le cube, où toutes les faces donc sont des carrés, ou le parallélépipède rectangle. Mais en faite, n’importe quel polygone peut-être la base du prisme, donc le triangle, un parallélogramme, un trapèze, un hexagone, enfin tout est imaginable.

Regardons maintenant ensemble un exemple de calcul de volume. Donc ici, étant donné que le volume de chaque petit cube est un centimètre cube, calculer le volume total du solide.

Donc puisqu’on connaît le volume de chaque petit cube, il s’agit vraiment ici de trouver le nombre total de petits cubes dans le solide. Mais bien sûr on ne va pas les additionner un à un, parce que si on avait un très grand solide ça prendrait beaucoup trop de temps, et donc on va utiliser un autre moyen.

Commençons par la base de ce solide. Donc on voit qu’en bas ici nous avons un, deux, trois, quatre, cinq, six petits cubes, et dans cette direction ici, nous en avons deux.

Donc si je pense maintenant au nombre de cubes qui sont dans cette couche du bas que j’ai rayée en vert, ici je vais donc en avoir six fois deux ; donc j’ai deux rangées de six. Donc six fois deux, j’en ai 12. J’ai 12 cubes, et chaque cube est un centimètre cube. Donc cette couche du bas a un volume de 12 centimètres cubes.

Et puisque j’ai trois couches comme ça, dans la direction donc verticale, pour trouver le nombre total de petits cubes qui font mon solide ici, je vais devoir multiplier ma couche de 12 par trois, puisque j’ai trois couches. Cela me donne donc un volume total de 36 centimètres cubes.

Dans l’exemple précédent, nous avons pu calculer le volume de notre solide en comptant le nombre de petits cubes unitaires, donc chaque cube ayant un centim- un volume d’un centimètre cube. Mais évidemment, cela marche bien avec un parallélépipède rectangle, mais avec un prisme d’une autre forme cela va être beaucoup plus compliqué. Donc ici nous allons essayer de trouver une formule générale, qui va nous permettre de calculer le volume de n’importe quel prisme.

Donc j’ai choisi un prisme triangulaire pour trouver cette formule générale, et nous allons réfléchir en fait à la méthode que nous avons utilisée dans l’exemple précédent. Qu’avons-nous fait ? En faite, nous avons d’abord déterminé le volume d’une couche, et après, nous avons multiplié par le nombre de couches. Et cette méthode est donc d’une manière générale équivalente à, d’abord calculer l’aire de la base du prisme, donc rappelez-vous, c’est une des deux faces parallèles et superposables, donc évidemment elles ont la même aire, donc peu importe laquelle on prend. Donc ceci est équivalent un peu à notre première couche, et on multiplie par la hauteur ou la longueur du prisme. Donc c’est la distance entre nos deux faces parallèles qui va correspondre à notre nombre de couches.

Nous avons donc trouvé ici la méthode générale pour calculer le volume d’un prisme, et donc il s’agit d’abord de calculer l’aire de sa base, et de multiplier par la hauteur qui est donc la distance entre les deux bases, ou les deux faces parallèles et superposables. Et donc cette méthode est résumée par cette formule ici, donc le volume égale l’air de la base fois la hauteur.

Ok, utilisons cela maintenant pour résoudre quelques petits exercices.

Donc ici, calculer le volume d’un cube de côté cinq centimètres.

Donc un cube, rappelez-vous, tous les côtés ont la même longueur puisque toutes les faces sont des carrés.

Donc voilà ce qui nous intéresse ici. Donc un cube de côté cinq, donc tous les dimensions sont cinq, et nous devons d’abord trouver l’aire de la base, donc la base d’un cube c’est un carré de côté cinq. Donc je peux prendre par exemple celui-là, et donc son aire va être donnée par cinq fois cinq. Et maintenant, nous devons multiplier cette aire par la hauteur ou la profondeur ou la longueur du prisme, qui est donc cinq aussi. Donc le volume va être cinq fois cinq fois cinq, ou cinq au cube centimètres cubes, ce qui nous donne donc 125 centimètres cubes.

Notez bien ici que quand on parle d’un volume, les unités sont cubiques, puisque nous sommes en trois dimensions. Et pour un volume, nous multiplions bien. Ici, nous avons multiplié des centimètres par des centimètres par des centimètres ; donc les centimètres sont au cube.

Notre prochain exercice ici : calculer le volume du parallélépipède rectangle.

Donc, nous voyons ici que ses dimensions sont cinq centimètres, 12 centimètres et trois centimètres.

Donc pour calculer le volume du parallélépipède rectangle, j’ai besoin de trouver le, l’air de sa base, et de multiplier par la hauteur ou la longueur ou la profondeur du prisme, c’est-à-dire la distance entre les deux bases.

Donc un parallélépipède rectangle est un prisme très particulier puisque finalement, il a trois paires de bases. Puisque peu importe qu’elle face je choisis, il y en aura toujours une parallèle à celle-ci, superposable. Donc peu importe celle que je choisis pour calculer mon volume, évidemment le résultat sera le même, puisque le volume ne dépend pas de ce qu’on choisit. Et donc je peux par exemple choisir cette face-là, et dire que je vais l’utiliser comme la base, et donc trouver son aire pour trouver le volume après.

La base de mon parallélépipède rectangle est donc cette face rayée en vert. Et pour trouver le volume, je calcule donc d’abord l’aire de cette surface, de cette face verte, et donc ses dimensions étant cinq et trois, je vais devoir multiplier cinq par trois. Et puis je dois multiplier par donc la distance entre mes deux bases, et donc qui est ici 12 centimètres, donc la dernière des trois dimensions du parallélépipède.

Donc le calcul du volume de ce parallélépipède est tout simplement cinq fois trois fois 12, ce qui fait 180 centimètres cubes pour le volume de ce parallélépipède rectangle.

Et cet exercice ici, calculer le volume du prisme triangulaire donné ci-dessous.

Donc ici nous devons identifier la base de ce prisme, et nous voyons que, quelles sont les deux faces parallèles et superposables ? C’est ce triangle rectangle ici, que j’ai bien le même de l’autre côté ici.

Et donc maintenant pour calculer son volume, je dois calculer l’aire du triangle rectangle ici. Donc l’aire d’un triangle c’est la base fois hauteur divisé par deux, et donc ici ça va nous faire trois fois quatre divisé par deux. Et je dois maintenant multiplier cette aire par la hauteur du prisme, c’est-à-dire la distance entre les deux bases, et c’est-à-dire ici huit centimètres. On a donc trois fois quatre divisé par deux fois huit.

Et donc en faisant le calcul, on trouve 48 centimètres cubes pour le volume de ce prisme triangulaire.

Donc on voit que calculer le volume d’un prisme, la, l’étape la plus importante c’est de vraiment bien identifier la base. Donc rappelez-vous, la base en fait, ou le couple de bases finalement, ce sont ces deux faces parallèles et superposables. Superposables ça veut dire que ce sont exactement les mêmes ; les mêmes formes, les mêmes dimensions.

Voilà, une fois qu’on a ça, c’est simple. Dans le cas d’un triangle, bien sûr ne pas tomber dans le piège d’oublier de diviser par deux. Rappelez-vous aussi que quand on multiplie trois par quatre par exemple ici, on obtient l’aire du rectangle. Or, ici nous avons un triangle, donc il faut faire quelque chose d’autre ; il faut diviser par deux.

Et enfin, notre dernière question : calculer le volume du prisme montré ci-dessous.

Donc première étape, identifier la base. Donc je cherche le couple de faces, mes deux faces parallèles et superposables, et je vois que c’est celles-ci, puisque j’ai exactement la même de l’autre côté. Et de quoi s’agit-il ici ? Il s’agit d’un trapèze puisque ces deux côtés ici sont parallèles, et qui plus est un trapèze rectangle puisque nous avons des angles droits ici.

Donc nous allons calculer le volume exactement comme précédemment, c’est-à-dire que nous allons d’abord trouver l’aire de cette base qui est donc un trapèze, et donc pour cela, nous devons nous souvenir comment trouver l’aire d’un trapèze.

Et donc pour trouver l’aire d’un trapèze, d’abord nous devons additionner les longueurs des deux côtés parallèles. Donc le premier côté parallèle ici c’est de 10 centimètres, et celui du dessus, sa mesure c’est six centimètres. Donc nous allons additionner d’abord 10 et six, et ensuite je divise par deux, c’est-à-dire que ici, tout simplement je cherche une longueur moyenne entre les deux côtés parallèles du trapèze. Et ensuite, je mesure- je multiplie par la distance entre les deux côtés parallèles, c’est-à-dire ce qu’on appelle la hauteur, et puisqu’ici mon trapèze est rectangle, c’est donné directement par ce côté.

Donc c’était seulement la première partie du calcul du volume, puisque pour l’instant je n’ai calculé que l’aire du trapèze. Donc on peut aussi s’en convaincre en voyant que 10 plus six divisé par deux, donc on a dit que c’était une longueur moyenne. Donc j’ai multiplié une longueur par une longueur, donc je n’ai bien que une aire pour l’instant, et il faut maintenant que je multiplie par la distance entre les deux faces parallèles et superposables, c’est-à-dire par mon huit ici.

Donc maintenant j’ai bien tout le calcul que je dois effectuer pour trouver le volume. Et donc si j’effectue ce calcule, je trouve un volume de 448 centimètres cubes donc pour ce prisme.

Donc en résumé, nous avons vu que un prisme d’abord est un solide particulier qui a deux faces parallèles et superposables, et ses autres faces sont faites de rectangles. Et pour trouver son volume, nous calculons l’aire de la base et nous multiplions par la hauteur ou la longueur ou la profondeur du prisme qui est en fait tout simplement la distance entre ces deux faces parallèles et superposables.

Et cette méthode est valable quel que soit le prisme. Et donc finalement, il s’agit à chaque fois de trouver l’aire de la base, et donc de déterminer la base, de déterminer la forme géométrique de la base, et de trouver comment calculer son aire, que ce soit donc un rectangle, un carré, un triangle ou n’importe quel autre polygone.