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Vidéo de question : Calculer le conjugué d’un nombre complexe ainsi que leur somme Mathématiques

Calculez le conjugué du nombre complexe −7 - 𝑖 et la somme de ce nombre et de son conjugué.

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Transcription de vidéo

Calculez le conjugué du nombre complexe moins sept moins 𝑖 et la somme de ce nombre et de son conjugué.

Le conjugué d’un nombre complexe 𝑍, qui est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖, est le nombre 𝑍 étoile, qui est égal à 𝑎 moins 𝑏𝑖. La différence entre un nombre et son conjugué est que le signe de la partie imaginaire du nombre est changé. Il est multiplié par moins un.

Donc, pour trouver le conjugué du nombre complexe moins sept moins 𝑖, il suffit de changer le signe de la partie imaginaire. Le conjugué est égal à moins sept plus 𝑖.

Ensuite, nous devons calculer la somme du nombre et de son conjugué. La somme est égale à moins sept moins 𝑖 plus moins sept plus 𝑖. Pour calculer cette somme, il suffit d’ajouter les parties réelles et les parties imaginaires.

Pour la partie réelle, moins sept plus moins sept est égal à moins 14. Pour la partie imaginaire, nous avons moins 𝑖 plus plus 𝑖. Les parties imaginaires s’annulent donc. Et nous avons une partie imaginaire égale à zéro, donc pas de partie imaginaire dans la somme.

Ce n’est pas une coïncidence. Et en fait, cela illustre une règle plus générale, à savoir que si nous additionnons un nombre et son conjugué, le résultat est un nombre réel. En fait, cela équivaut au double de la partie réelle du nombre complexe.

Vous pouvez le voir clairement si vous envisagez d’ajouter le nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖 à son conjugué 𝑎 moins 𝑏𝑖. Les parties imaginaires s’annulent. Et il nous reste deux 𝑎, le double de la partie réelle du nombre complexe. Le conjugué de moins sept moins 𝑖 est moins sept plus 𝑖. Et la somme de ce nombre avec son conjugué est moins 14.

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