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Vidéo de question : Résoudre des problèmes avec des angles d’élévation Mathématiques

Un observateur mesure qu’une montgolfière forme avec lui et le sol un angle mesurant 𝜋/7. L’observateur marche en direction de la montgolfière et parcourt ainsi une distance de 522 m. L'angle mesuré est alors de 𝜋/4. Calculez l’altitude de la montgolfière au mètre près.

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Transcription de vidéo

Un observateur mesure qu’une montgolfière forme avec lui et le sol un angle mesurant 𝜋 par sept. L’observateur marche en direction de la montgolfière et parcourt ainsi une distance de 522 mètres. L'angle mesuré est alors de 𝜋/4. Calculez l’altitude de la montgolfière au mètre près.

Nous allons commencer par tracer un schéma. L’observateur a d'abord mesuré un angle d'élévation de la montgolfière de 𝜋 sur sept. Nous travaillons donc en radians. Un angle d'élévation est l'angle mesuré à partir de l'horizontale quand nous regardons vers quelque chose. Dans ce cas, l’observateur regarde depuis le sol vers une montgolfière dans le ciel. L’observateur marche ensuite 522 mètres dans une direction horizontale. Il marche le long du sol vers la montgolfière. À partir de cette nouvelle position, l'angle d'élévation de la montgolfière vaut 𝜋 sur quatre radians.

Nous devons faire attention quand nous marquons ceci dans notre schéma. Il s’agit de l'angle par rapport à l'horizontale quand nous regardons vers l'objet. Il s’agit donc de cet angle-là. Nous avons maintenant dessiné notre schéma. Nous pouvons voir que nous avons un triangle formé par les deux droites de vue vers la montgolfière depuis chaque position et la distance horizontale de 522 mètres. Cependant, nous voulons trouver l’altitude de la montgolfière au-dessus du sol. Nous ajouterons donc une droite pour la représenter sur notre schéma, que nous mesurerons 𝑥 mètres. Nous ajouterons également quelques lettres à notre figure : 𝐵 pour la position de la montgolfière, 𝐴 et 𝐶 pour les deux positions où se trouve cette personne et 𝐷 pour le point situé verticalement sous la montgolfière sur le sol.

Nous voyons maintenant que la hauteur de la montgolfière, désignée par 𝑥 mètres, est un côté du triangle rectangle 𝐵𝐶𝐷. Seulement, la seule autre information que nous connaissons sur ce triangle est qu’il s’agit d’un triangle rectangle et qu'il a un autre angle 𝜋 sur quatre radians. Sans connaître aucune longueur dans ce triangle, nous ne pourrons pas calculer la longueur du côté 𝐵𝐷. Remarquons cependant que le côté 𝐵𝐶 est en commun avec l'autre triangle du schéma, le triangle 𝐴𝐵𝐶, qui a un angle de 𝜋 sur sept radians et un côté de longueur 522 mètres.

Nous pouvons aussi calculer la mesure de l'angle 𝐴𝐶𝐵 en se rappelant que la somme des angles sur une droite est de 180 degrés ou 𝜋 radians. Ainsi, la mesure de l'angle 𝐴𝐶𝐵 est 𝜋 moins 𝜋 sur quatre, soit trois 𝜋 sur quatre radians. Nous pouvons aussi calculer la mesure du troisième angle de ce triangle, l'angle 𝐴𝐵𝐶, en rappelant que la somme des angles d'un triangle est de 180 degrés ou 𝜋 radians. La mesure de ce troisième angle est donc 𝜋 moins 𝜋 sur sept moins trois 𝜋 sur quatre, ce qui donne trois 𝜋 sur 28 radians.

Pour le triangle 𝐴𝐵𝐶, nous connaissons maintenant les mesures des trois angles et la longueur d'un côté. Nous pouvons donc calculer la longueur de tout autre côté du triangle 𝐴𝐵𝐶 en appliquant la loi des sinus. Ainsi, dans tout triangle dont les angles sont 𝐴 majuscule, 𝐵 majuscule et 𝐶 majuscule et dont les côtés opposés sont marqués par les lettres minuscules correspondantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐, le rapport entre la longueur de chaque côté et le sinus de son angle opposé est constant. 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵 égale 𝑐 sur sinus 𝐶.

Dans notre triangle, le côté de 522 mètres est opposé à l'angle de trois 𝜋 de 28 radians. Or, le côté que nous voulons déterminer, le côté 𝐵𝐶, est opposé à l'angle 𝜋 sur sept radians. En utilisant la loi des sinus, pouvons donc poser une équation. 𝐵𝐶 sur sinus 𝜋 sur sept égale 522 sur sinus trois 𝜋 sur 28. Si nous multiplions les deux côtés de cette équation par sinus 𝜋 sur sept, nous obtenons une expression pour la longueur 𝐵𝐶 : 522 sinus 𝜋 sur 7 sur sinus 3 𝜋 sur 28.

Nous pouvons maintenant évaluer cela en utilisant nos calculatrices, en veillant à ce qu'elles soient en mode radian. Cela donne 685.7452 etc. Assurez-vous de garder cette valeur exacte sur l'écran de votre calculatrice ou de la sauvegarder dans la mémoire de la calculatrice.

En observant le triangle 𝐵𝐶𝐷, nous connaissons maintenant la longueur d'un côté, le côté 𝐵𝐶. Nous savons qu’il s’agit d’un triangle rectangle et nous connaissons la mesure d'un autre angle. L'angle 𝐵𝐶𝐷 est 𝜋 sur quatre radians. Nous pouvons donc appliquer la trigonométrie du triangle rectangle pour calculer la longueur du côté 𝐵𝐷. Commençons par désigner les trois côtés du triangle par rapport à l'angle de 𝜋 sur quatre radians. Le côté 𝐵𝐷 est le côté opposé, le côté 𝐶𝐷 est le côté adjacent et le côté 𝐵𝐶 est l'hypoténuse. En effet, le côté que l'on souhaite calculer est l'opposé et le côté dont nous connaissons la longueur est l'hypoténuse. Puis, en rappelant l'acronyme SOH CAH TOA, nous pouvons répondre à cette question en utilisant le rapport des sinus. Dans un triangle rectangle, le rapport des sinus est la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l'hypoténuse. Nous avons donc que sinus 𝜋 sur quatre égale 𝑥 sur 685.7452 etc. Pour déterminer 𝑥, nous devons multiplier les deux côtés de cette équation par 685.7452 etc, ce qui donne 𝑥 égale 685.7452 fois sinus 𝜋 sur quatre.

Maintenant, si vous avez gardé cette valeur sur l'écran de votre calculatrice, il suffit de saisir fois sin 𝜋 sur quatre pour obtenir la réponse. Ceci donne 484.895 ainsi de suite. Nous avons donc déterminé l’altitude de la montgolfière. On nous a demandé de donner notre réponse au mètre près. Nous devons donc arrondir au nombre entier le plus proche. Soit 485. En rappelant les angles d'élévation, c'est-à-dire les angles mesurés à partir de l'horizontale lorsque nous regardons vers quelque chose, et en appliquant la loi des sinus et le rapport des sinus dans un triangle rectangle, nous avons déterminé que l’altitude de cette montgolfière au mètre près est de 485 mètres.

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