Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous apprendrons à identifier des évènements disjoints,
puis à trouver leur probabilité. Si deux évènements ou plus s’excluent mutuellement (sont disjoints), ils
ne peuvent pas se produire en même temps. Par exemple, un animal ne peut pas être un chat et un chien, ce qui
signifie qu’être un chien est disjoint d’être un chat. Et être un chien tout en étant un chat s’excluent mutuellement, aimer les
chiens n’est pas disjoint d’aimer les chats. Il peut y avoir des gens qui aiment les chiens, des gens qui aiment les
chats et d’autres qui aiment les chiens et les chats, ce qui
signifie que ces catégories ne s’excluent pas mutuellement. Parce que les deux choses peuvent être vraies en même temps. Parce qu’il n’y a pas de chevauchement entre chiens et chats, nous
appelons ces catégories mutuellement exclusives. Vous pourriez également entendre parler de catégories « disjointes ».
Avant de chercher à déterminer la probabilité d’évènements disjoints,
rappelons-nous rapidement quelques règles de probabilité. Pour tout évènement A, si la probabilité de A est la probabilité que A se
produise, ce qui suit est vrai. La probabilité de A doit être comprise entre zéro et un. La somme des probabilités de tous les résultats possibles est égale à un,
c’est-à-dire 100 pour cent. Le complémentaire de l’évènement A écrit comme A avec une barre au-dessus
se réfère à tout ce qui n’est pas A. Et la probabilité du complémentaire de A est égale à un moins la
probabilité de A. Vous pourriez parfois voir le complémentaire être écrit avec un prime, A
avec un tiret également.
Mais maintenant, nous voulons examiner la probabilité d’évènements
disjoints et d’évènements non disjoints. Disons que nous voulons trouver la probabilité que l’évènement A ou
l’évènement B se produise. Nous écrivons cela, la probabilité de A ou B, mathématiquement comme
ça. À gauche, nous avons des évènements disjoints. Et nous voulons connaître la probabilité que A ou B se produise. Et ce serait la probabilité entière dans le bleu, la probabilité de A,
plus la probabilité entière de B, la probabilité du jaune.
Par exemple, si vous aviez la probabilité que quelqu’un choisisse un
chien comme animal de compagnie et la probabilité que quelqu’un
choisisse un chat comme animal de compagnie. La probabilité de A ou B serait la probabilité qu’ils choisissent un
chien ou un chat. Et pour trouver cela, nous aurions besoin d’ajouter ces deux probabilités
ensemble.
Essayons la même chose avec des évènements non disjoints. La probabilité de l’évènement A est tout ce qui est dans le cercle
bleu. Si nous ajoutons la probabilité de l’évènement B à cela — c’est tout le
cercle jaune — le problème est que, dans les évènements non
disjoints, A et B partagent une probabilité. Ils partagent la probabilité de A et B. C’est cette probabilité d’intersection.
Pour trouver la probabilité d’évènements non disjoints, nous prenons la
probabilité de l’évènement A plus la probabilité de l’évènement
B. Et ensuite nous soustrayons le chevauchement entre eux.
Pour revenir à notre exemple précédent, si nous posons A la probabilité
que quelqu’un aime les chiens, B la probabilité que quelqu’un aime
les chats, alors la probabilité de A et B est celle des gens qui
aiment les deux. Et cela signifie que la probabilité que les gens aiment les chats ou les
chiens soit égale à la probabilité que les gens aiment les chiens
incluent les personnes qui aiment les chats et les chiens. Et la probabilité que quelqu’un aime les chats inclut les personnes qui
aiment les chats et les chiens. Et cela signifie que nous avons ajouté ce groupe deux fois.
Donc, si nous soustrayons les personnes qui aiment les chats et les
chiens, cela annule cette intersection répétée. Donc, nous avons les gens qui aiment les chiens — et cela inclut les gens
qui aiment les chats et les chiens — plus les gens qui n’aiment que
les chats. Dans les évènements disjoints, nous n’avons pas à le faire car la
probabilité de A et B est égale à zéro. Il n’y a pas de chevauchement. Donc, pour trouver la probabilité de A ou B dans des évènements
disjoints, nous ajoutons la probabilité de A à la probabilité de B
car la probabilité de A et B est nulle. Nous sommes maintenant prêts à examiner quelques exemples.
Dans un refuge pour animaux, 39 pour cent des habitants actuels sont des chats, C
et 41 pour cent sont des chiens, D. Trouvez la probabilité qu’un animal choisi au hasard soit un chat ou un
chien. Trouvez la probabilité qu’un animal choisi au hasard ne soit ni un chat
ni un chien.
Voyons ce que nous savons. Dans un refuge pour animaux, 39 pour cent des animaux sont des chats et 41 pour cent des
animaux sont des chiens. Pour le premier problème, nous voulons trouver la probabilité qu’un
animal choisi au hasard soit un chat ou un chien.
Nous savons que les animaux peuvent être soit un chat ou un chien, mais
pas les deux, ce qui rend ces évènements disjoints. Et cela signifie que, pour trouver la probabilité que l’évènement C ou D
se produise, nous ajoutons la probabilité de l’évènement C et la
probabilité de l’évènement D. Souvenez-vous, la probabilité que l’évènement A se produise est le nombre
de façons dont A peut se produire sur tous les résultats
possibles. La probabilité de C serait la probabilité qu’un chat soit choisi parmi
tous les animaux possibles.
Si 39 pour cent de tous les animaux sont des chats, il y a alors une probabilité
de 0.39 qu’un chat soit choisi parmi tous les animaux possibles. De la même manière, si 41 pour cent de tous les animaux sont des chiens, la
probabilité de choisir un chien parmi tous les animaux possibles est
de 0.41. Si nous combinons ces deux probabilités, 0.39 plus 0.41, nous voyons que
la probabilité de sélectionner un chat ou un chien, si elle est
choisie au hasard, est de 0.80. Cela signifie également que nous savons que 80 pour cent des animaux du refuge
sont soit un chat, soit un chien. Si 80 pour cent des animaux sont des chats ou des chiens, 20 pour cent des animaux ne
sont ni des chats ni des chiens.
Pour trouver la probabilité qu’un animal choisi au hasard ne soit ni un
chat ni un chien, nous pourrions trouver le complément de la
probabilité qu’il s’agisse d’un chat ou d’un chien. Puisque le complémentaire est tout ce qui n’est pas C ou D. Et nous trouvons cela en prenant la probabilité de C ou D et en la
soustrayant de un. La probabilité que vous ne sélectionniez pas un chat ou un chien est
alors de 0.20.
Regardons un autre exemple. Cette fois, nous n’avons qu’à décider si les évènements s’excluent
mutuellement ou non.
Amelia a un jeu de 52 cartes. Elle sélectionne au hasard une carte et considère les évènements
suivants. Évènement A, choisir une carte qui est un cœur. Évènement B, choisir une carte noire. Évènement C, choisir une carte qui n’est pas un chat. Les évènements A et B s’excluent-ils mutuellement ? Les évènements A et C s’excluent-ils mutuellement ? Les évènements B et C s’excluent-ils mutuellement ?
Prenons chacune de ces questions à tour de rôle, en commençant par la
première. Les évènements A et B s’excluent-ils mutuellement ? L’évènement A sélectionne une carte qui est un cœur, et l’évènement B
sélectionne une carte qui est noire. Si nous considérons un jeu standard de 52 cartes, l’évènement A
sélectionnerait l’une des cartes qui est un cœur. Et c’est l’évènement B, choisir une carte qui est noire.
Dans les évènements disjoints, la probabilité de A et B est nulle. Il n’est pas possible que les deux évènements se produisent en même
temps. Lorsque nous demandons : « A et B s’excluent-ils mutuellement ?», Nous
devons nous demander si A et B peuvent se produire en même
temps ? Amelia peut-elle choisir une carte qui est un cœur et noir ? Non, ce n’est pas possible. Comme il n’est pas possible que A et B soient vrais en même temps, ces
évènements s’excluent mutuellement.
Qu’en est-il des évènements A et C ? L’évènement A est le même. Parce que l’évènement C implique de choisir une carte qui n’est pas une
bêche, il peut s’agir de clubs, de cœurs ou de diamants. Nous posons la même question. L’évènement A et l’évènement C peuvent-ils se produire en même
temps ? C’est possible. Puisqu’ils peuvent tous deux être vrais en même temps, ces évènements ne
s’excluent pas mutuellement.
Et B et C ? Avec la même question, B et C peuvent-ils arriver en même temps ? Il est possible de choisir une carte qui est noire et qui n’est pas un
chat. Ce seraient toutes les cartes qui sont des clubs. Parce que les évènements B et C peuvent se produire en même temps, ils ne
s’excluent pas mutuellement.
Regardons un autre exemple.
Un petit chœur comprend un chanteur ténor, trois chanteurs soprano, un
chanteur baryton et un chanteur mezzo-soprano. Si l’un de leurs noms a été choisi au hasard, déterminez la probabilité
qu’il s’agissait du nom du chanteur ténor ou du chanteur
soprano.
Le chœur a un ténor, trois sopranos, un baryton et une mezzo-soprano. Si nous les posons s’exclure mutuellement, cela signifie que le ténor ne
serait pas aussi le baryton. Nous dirions qu’il y a six personnes au total. Nous voulons connaître la probabilité de ténor ou de soprano. Et parce qu’ils s’excluent mutuellement, nous pouvons simplement
additionner ces valeurs, la probabilité d’un ténor et la probabilité
d’une soprano.
Puisqu’il n’y a qu’un seul ténor, la probabilité de sélectionner au
hasard cette personne est de un sur six. Et comme il y a trois sopranos, la probabilité de sélectionner
aléatoirement leur nom serait de trois sur six. Ensemble, c’est une probabilité de quatre sixièmes, qui peut être réduite
en divisant le numérateur et le dénominateur par deux. Et cela signifie que la probabilité de sélectionner au hasard un ténor ou
une soprano est de deux tiers.
Regardons un autre exemple.
Un sac contient des boules rouges, bleues et vertes, et une doit être
sélectionnée sans regarder. La probabilité que la balle choisie soit rouge est égale à sept fois la
probabilité que la balle choisie soit bleue. La probabilité que la balle choisie soit bleue est la même que la
probabilité que la balle choisie soit verte. Trouvez la probabilité que la balle choisie soit rouge ou verte.
Nous voulons trouver la probabilité de sélectionner une balle rouge ou
verte lorsque nous en tirons une. Nous savons que ces évènements s’excluent mutuellement car le ballon ne
peut pas être rouge et vert en même temps. La probabilité que la balle soit à la fois rouge et verte est nulle. Et cela signifie que la probabilité que la balle soit rouge ou verte sera
égale à la probabilité que la balle soit rouge plus la probabilité
que la balle soit verte.
Alors maintenant, nous devons trouver ces valeurs. Nous savons que la probabilité que la balle soit rouge est égale à sept
fois la probabilité que la balle soit bleue. Et la probabilité que la balle soit verte est égale à la probabilité que
la balle soit bleue. Nous pouvons également dire que la probabilité du rouge plus la
probabilité du vert plus la probabilité du bleu doit être égale à
un.
Puisque la somme des probabilités de tous les résultats possibles est
toujours égale à un. Dans cette équation, si nous substituons la probabilité du bleu et la
probabilité du vert, nous pouvons substituer sept fois la
probabilité du bleu et du rouge. Donc, sept fois la probabilité du bleu plus la probabilité du bleu plus
la probabilité du bleu doit être égale à un.
Nous pouvons combiner des termes similaires et dire que nous avons neuf
fois la probabilité que le bleu soit égal à un. Et cela signifie que nous pourrions diviser les deux côtés par neuf pour
montrer que la probabilité de sélectionner le bleu est égale à un
neuvième. Si la probabilité de sélectionner le bleu est d’un neuvième, alors la
probabilité de sélectionner le vert est également d’un neuvième car
ils sont égaux. La probabilité de sélectionner le rouge est égale à sept fois la
probabilité de sélectionner le bleu, ce qui signifie qu’elle sera de
sept neuvièmes. Pour trouver la probabilité du rouge et du vert, alors nous combinons
sept neuvièmes et un neuvième pour obtenir huit neuvièmes.
Il vaut probablement la peine de noter ici qu’une fois que nous avons
trouvé la probabilité du bleu, nous aurions pu trouver la
probabilité qu’il ne soit pas bleu. Parce qu’il n’y a que du rouge, du vert et du bleu dans le sac, la
probabilité qu’il ne soit pas bleu sera la même que la probabilité
qu’il soit rouge ou vert, ce qui serait encore huit huitièmes.
Dans notre dernier exemple, on nous donne la probabilité de 𝐴 ou 𝐵. Et puis on nous demande de trouver la probabilité de 𝐵.
Supposons que 𝐴 et 𝐵 sont deux évènements disjoints. Étant donné que la probabilité de 𝐴 ou 𝐵 est égale à 0.93 et que la
probabilité de 𝐴 pas 𝐵 est égale à 0.39, trouvez la probabilité de
𝐵.
La première chose que nous savons est que la probabilité de 𝐴 ou 𝐵 est
égale à 0.93. Mais nous savons également que ce sont des évènements disjoints, ce qui
signifie que la probabilité de 𝐴 ou 𝐵 est égale à la probabilité
de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵. Cela signifie également que la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se produisent
tous les deux en même temps est nulle. Nous pouvons représenter ces deux évènements disjoints avec deux cercles
qui ne se chevauchent pas.
On nous donne également que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à
0.39. Ce serait la probabilité que 𝐴 se produise et non 𝐵. Et cela nous indique vraiment que la probabilité que 𝐴 se produise est
de 0.39. Nous savons que la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 est égale
à 0.93. Et puis on met 0.39 pour la probabilité de 𝐴. Pour résoudre 𝐵, nous soustrayons 0.39 des deux côtés. Et nous obtenons la probabilité que 𝐵 soit 0.54.
Enfin, passons en revue nos points clés. Si deux évènements ne peuvent pas se produire en même temps, ils
s’excluent mutuellement (ils sont disjoints), ce qui signifie que la
probabilité de 𝐴 ou 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la
probabilité de 𝐵. Et cela signifie que la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se produisent en même
temps est nulle.