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Vidéo : Évènements disjoints

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment identifier des évènements disjoints et trouver leurs probabilités.

16:23

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à identifier des évènements disjoints, puis à trouver leur probabilité. Si deux évènements ou plus s’excluent mutuellement (sont disjoints), ils ne peuvent pas se produire en même temps. Par exemple, un animal ne peut pas être un chat et un chien, ce qui signifie qu’être un chien est disjoint d’être un chat. Et être un chien tout en étant un chat s’excluent mutuellement, aimer les chiens n’est pas disjoint d’aimer les chats. Il peut y avoir des gens qui aiment les chiens, des gens qui aiment les chats et d’autres qui aiment les chiens et les chats, ce qui signifie que ces catégories ne s’excluent pas mutuellement. Parce que les deux choses peuvent être vraies en même temps. Parce qu’il n’y a pas de chevauchement entre chiens et chats, nous appelons ces catégories mutuellement exclusives. Vous pourriez également entendre parler de catégories « disjointes ».

Avant de chercher à déterminer la probabilité d’évènements disjoints, rappelons-nous rapidement quelques règles de probabilité. Pour tout évènement A, si la probabilité de A est la probabilité que A se produise, ce qui suit est vrai. La probabilité de A doit être comprise entre zéro et un. La somme des probabilités de tous les résultats possibles est égale à un, c’est-à-dire 100 pour cent. Le complémentaire de l’évènement A écrit comme A avec une barre au-dessus se réfère à tout ce qui n’est pas A. Et la probabilité du complémentaire de A est égale à un moins la probabilité de A. Vous pourriez parfois voir le complémentaire être écrit avec un prime, A avec un tiret également.

Mais maintenant, nous voulons examiner la probabilité d’évènements disjoints et d’évènements non disjoints. Disons que nous voulons trouver la probabilité que l’évènement A ou l’évènement B se produise. Nous écrivons cela, la probabilité de A ou B, mathématiquement comme ça. À gauche, nous avons des évènements disjoints. Et nous voulons connaître la probabilité que A ou B se produise. Et ce serait la probabilité entière dans le bleu, la probabilité de A, plus la probabilité entière de B, la probabilité du jaune.

Par exemple, si vous aviez la probabilité que quelqu’un choisisse un chien comme animal de compagnie et la probabilité que quelqu’un choisisse un chat comme animal de compagnie. La probabilité de A ou B serait la probabilité qu’ils choisissent un chien ou un chat. Et pour trouver cela, nous aurions besoin d’ajouter ces deux probabilités ensemble.

Essayons la même chose avec des évènements non disjoints. La probabilité de l’évènement A est tout ce qui est dans le cercle bleu. Si nous ajoutons la probabilité de l’évènement B à cela — c’est tout le cercle jaune — le problème est que, dans les évènements non disjoints, A et B partagent une probabilité. Ils partagent la probabilité de A et B. C’est cette probabilité d’intersection.

Pour trouver la probabilité d’évènements non disjoints, nous prenons la probabilité de l’évènement A plus la probabilité de l’évènement B. Et ensuite nous soustrayons le chevauchement entre eux.

Pour revenir à notre exemple précédent, si nous posons A la probabilité que quelqu’un aime les chiens, B la probabilité que quelqu’un aime les chats, alors la probabilité de A et B est celle des gens qui aiment les deux. Et cela signifie que la probabilité que les gens aiment les chats ou les chiens soit égale à la probabilité que les gens aiment les chiens incluent les personnes qui aiment les chats et les chiens. Et la probabilité que quelqu’un aime les chats inclut les personnes qui aiment les chats et les chiens. Et cela signifie que nous avons ajouté ce groupe deux fois.

Donc, si nous soustrayons les personnes qui aiment les chats et les chiens, cela annule cette intersection répétée. Donc, nous avons les gens qui aiment les chiens — et cela inclut les gens qui aiment les chats et les chiens — plus les gens qui n’aiment que les chats. Dans les évènements disjoints, nous n’avons pas à le faire car la probabilité de A et B est égale à zéro. Il n’y a pas de chevauchement. Donc, pour trouver la probabilité de A ou B dans des évènements disjoints, nous ajoutons la probabilité de A à la probabilité de B car la probabilité de A et B est nulle. Nous sommes maintenant prêts à examiner quelques exemples.

Dans un refuge pour animaux, 39 pour cent des habitants actuels sont des chats, C et 41 pour cent sont des chiens, D. Trouvez la probabilité qu’un animal choisi au hasard soit un chat ou un chien. Trouvez la probabilité qu’un animal choisi au hasard ne soit ni un chat ni un chien.

Voyons ce que nous savons. Dans un refuge pour animaux, 39 pour cent des animaux sont des chats et 41 pour cent des animaux sont des chiens. Pour le premier problème, nous voulons trouver la probabilité qu’un animal choisi au hasard soit un chat ou un chien.

Nous savons que les animaux peuvent être soit un chat ou un chien, mais pas les deux, ce qui rend ces évènements disjoints. Et cela signifie que, pour trouver la probabilité que l’évènement C ou D se produise, nous ajoutons la probabilité de l’évènement C et la probabilité de l’évènement D. Souvenez-vous, la probabilité que l’évènement A se produise est le nombre de façons dont A peut se produire sur tous les résultats possibles. La probabilité de C serait la probabilité qu’un chat soit choisi parmi tous les animaux possibles.

Si 39 pour cent de tous les animaux sont des chats, il y a alors une probabilité de 0.39 qu’un chat soit choisi parmi tous les animaux possibles. De la même manière, si 41 pour cent de tous les animaux sont des chiens, la probabilité de choisir un chien parmi tous les animaux possibles est de 0.41. Si nous combinons ces deux probabilités, 0.39 plus 0.41, nous voyons que la probabilité de sélectionner un chat ou un chien, si elle est choisie au hasard, est de 0.80. Cela signifie également que nous savons que 80 pour cent des animaux du refuge sont soit un chat, soit un chien. Si 80 pour cent des animaux sont des chats ou des chiens, 20 pour cent des animaux ne sont ni des chats ni des chiens.

Pour trouver la probabilité qu’un animal choisi au hasard ne soit ni un chat ni un chien, nous pourrions trouver le complément de la probabilité qu’il s’agisse d’un chat ou d’un chien. Puisque le complémentaire est tout ce qui n’est pas C ou D. Et nous trouvons cela en prenant la probabilité de C ou D et en la soustrayant de un. La probabilité que vous ne sélectionniez pas un chat ou un chien est alors de 0.20.

Regardons un autre exemple. Cette fois, nous n’avons qu’à décider si les évènements s’excluent mutuellement ou non.

Amelia a un jeu de 52 cartes. Elle sélectionne au hasard une carte et considère les évènements suivants. Évènement A, choisir une carte qui est un cœur. Évènement B, choisir une carte noire. Évènement C, choisir une carte qui n’est pas un chat. Les évènements A et B s’excluent-ils mutuellement ? Les évènements A et C s’excluent-ils mutuellement ? Les évènements B et C s’excluent-ils mutuellement ?

Prenons chacune de ces questions à tour de rôle, en commençant par la première. Les évènements A et B s’excluent-ils mutuellement ? L’évènement A sélectionne une carte qui est un cœur, et l’évènement B sélectionne une carte qui est noire. Si nous considérons un jeu standard de 52 cartes, l’évènement A sélectionnerait l’une des cartes qui est un cœur. Et c’est l’évènement B, choisir une carte qui est noire.

Dans les évènements disjoints, la probabilité de A et B est nulle. Il n’est pas possible que les deux évènements se produisent en même temps. Lorsque nous demandons : « A et B s’excluent-ils mutuellement ?», Nous devons nous demander si A et B peuvent se produire en même temps ? Amelia peut-elle choisir une carte qui est un cœur et noir ? Non, ce n’est pas possible. Comme il n’est pas possible que A et B soient vrais en même temps, ces évènements s’excluent mutuellement.

Qu’en est-il des évènements A et C ? L’évènement A est le même. Parce que l’évènement C implique de choisir une carte qui n’est pas une bêche, il peut s’agir de clubs, de cœurs ou de diamants. Nous posons la même question. L’évènement A et l’évènement C peuvent-ils se produire en même temps ? C’est possible. Puisqu’ils peuvent tous deux être vrais en même temps, ces évènements ne s’excluent pas mutuellement.

Et B et C ? Avec la même question, B et C peuvent-ils arriver en même temps ? Il est possible de choisir une carte qui est noire et qui n’est pas un chat. Ce seraient toutes les cartes qui sont des clubs. Parce que les évènements B et C peuvent se produire en même temps, ils ne s’excluent pas mutuellement.

Regardons un autre exemple.

Un petit chœur comprend un chanteur ténor, trois chanteurs soprano, un chanteur baryton et un chanteur mezzo-soprano. Si l’un de leurs noms a été choisi au hasard, déterminez la probabilité qu’il s’agissait du nom du chanteur ténor ou du chanteur soprano.

Le chœur a un ténor, trois sopranos, un baryton et une mezzo-soprano. Si nous les posons s’exclure mutuellement, cela signifie que le ténor ne serait pas aussi le baryton. Nous dirions qu’il y a six personnes au total. Nous voulons connaître la probabilité de ténor ou de soprano. Et parce qu’ils s’excluent mutuellement, nous pouvons simplement additionner ces valeurs, la probabilité d’un ténor et la probabilité d’une soprano.

Puisqu’il n’y a qu’un seul ténor, la probabilité de sélectionner au hasard cette personne est de un sur six. Et comme il y a trois sopranos, la probabilité de sélectionner aléatoirement leur nom serait de trois sur six. Ensemble, c’est une probabilité de quatre sixièmes, qui peut être réduite en divisant le numérateur et le dénominateur par deux. Et cela signifie que la probabilité de sélectionner au hasard un ténor ou une soprano est de deux tiers.

Regardons un autre exemple.

Un sac contient des boules rouges, bleues et vertes, et une doit être sélectionnée sans regarder. La probabilité que la balle choisie soit rouge est égale à sept fois la probabilité que la balle choisie soit bleue. La probabilité que la balle choisie soit bleue est la même que la probabilité que la balle choisie soit verte. Trouvez la probabilité que la balle choisie soit rouge ou verte.

Nous voulons trouver la probabilité de sélectionner une balle rouge ou verte lorsque nous en tirons une. Nous savons que ces évènements s’excluent mutuellement car le ballon ne peut pas être rouge et vert en même temps. La probabilité que la balle soit à la fois rouge et verte est nulle. Et cela signifie que la probabilité que la balle soit rouge ou verte sera égale à la probabilité que la balle soit rouge plus la probabilité que la balle soit verte.

Alors maintenant, nous devons trouver ces valeurs. Nous savons que la probabilité que la balle soit rouge est égale à sept fois la probabilité que la balle soit bleue. Et la probabilité que la balle soit verte est égale à la probabilité que la balle soit bleue. Nous pouvons également dire que la probabilité du rouge plus la probabilité du vert plus la probabilité du bleu doit être égale à un.

Puisque la somme des probabilités de tous les résultats possibles est toujours égale à un. Dans cette équation, si nous substituons la probabilité du bleu et la probabilité du vert, nous pouvons substituer sept fois la probabilité du bleu et du rouge. Donc, sept fois la probabilité du bleu plus la probabilité du bleu plus la probabilité du bleu doit être égale à un.

Nous pouvons combiner des termes similaires et dire que nous avons neuf fois la probabilité que le bleu soit égal à un. Et cela signifie que nous pourrions diviser les deux côtés par neuf pour montrer que la probabilité de sélectionner le bleu est égale à un neuvième. Si la probabilité de sélectionner le bleu est d’un neuvième, alors la probabilité de sélectionner le vert est également d’un neuvième car ils sont égaux. La probabilité de sélectionner le rouge est égale à sept fois la probabilité de sélectionner le bleu, ce qui signifie qu’elle sera de sept neuvièmes. Pour trouver la probabilité du rouge et du vert, alors nous combinons sept neuvièmes et un neuvième pour obtenir huit neuvièmes.

Il vaut probablement la peine de noter ici qu’une fois que nous avons trouvé la probabilité du bleu, nous aurions pu trouver la probabilité qu’il ne soit pas bleu. Parce qu’il n’y a que du rouge, du vert et du bleu dans le sac, la probabilité qu’il ne soit pas bleu sera la même que la probabilité qu’il soit rouge ou vert, ce qui serait encore huit huitièmes.

Dans notre dernier exemple, on nous donne la probabilité de 𝐴 ou 𝐵. Et puis on nous demande de trouver la probabilité de 𝐵.

Supposons que 𝐴 et 𝐵 sont deux évènements disjoints. Étant donné que la probabilité de 𝐴 ou 𝐵 est égale à 0.93 et que la probabilité de 𝐴 pas 𝐵 est égale à 0.39, trouvez la probabilité de 𝐵.

La première chose que nous savons est que la probabilité de 𝐴 ou 𝐵 est égale à 0.93. Mais nous savons également que ce sont des évènements disjoints, ce qui signifie que la probabilité de 𝐴 ou 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵. Cela signifie également que la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se produisent tous les deux en même temps est nulle. Nous pouvons représenter ces deux évènements disjoints avec deux cercles qui ne se chevauchent pas.

On nous donne également que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à 0.39. Ce serait la probabilité que 𝐴 se produise et non 𝐵. Et cela nous indique vraiment que la probabilité que 𝐴 se produise est de 0.39. Nous savons que la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 est égale à 0.93. Et puis on met 0.39 pour la probabilité de 𝐴. Pour résoudre 𝐵, nous soustrayons 0.39 des deux côtés. Et nous obtenons la probabilité que 𝐵 soit 0.54.

Enfin, passons en revue nos points clés. Si deux évènements ne peuvent pas se produire en même temps, ils s’excluent mutuellement (ils sont disjoints), ce qui signifie que la probabilité de 𝐴 ou 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵. Et cela signifie que la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se produisent en même temps est nulle.

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