Transcription de la vidéo
Déterminez le système d’inéquations qui forme le triangle représenté par le graphique ci-dessous.
Nous pouvons rappeler qu’un système d’inéquations est une liste de différentes inégalités qui forment une zone particulière. Quand on nous donne une zone, comme dans cette question, la première chose à faire est de trouver l’équation de chaque droite qui forme une limite à la zone. Dans cette question, nous devrons trouver trois inégalités différentes car nous avons trois droites représentées sur le graphique. La première droite, qui n’est pas en pointillés, descend de gauche à droite et passe par l’origine. La deuxième droite monte de gauche à droite. Elle est représentée en pointillés. Elle passe par six sur l’axe des 𝑦. Enfin, nous avons cette troisième droite, qui n’est pas non plus une droite en pointillés. Elle descend de gauche à droite.
Nous allons d’abord trouver l’équation de chacune de ces trois droites, puis nous réfléchirons à l’inéquation représentée par la partie indiquée. Avant de commencer avec la première droite, nous devons nous rappeler la forme générale de l’équation d’une droite : 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est la pente ou le gradient de la droite et 𝑏 est l’ordonnée à l’origine. Regardons la première droite et trouvons la pente de cette droite. La pente d’une droite peut être déterminée par la variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥. Ainsi, en regardant ce triangle que nous avons tracé sous la droite un, la variation de 𝑦 sera de moins un et la variation de 𝑥 sera de un. Par conséquent, la pente vaut moins un sur un. Cela donne moins un.
Ensuite, pour trouver l’ordonnée à l’origine, nous cherchons l’endroit où la droite croise l’axe des 𝑦. Elle le fait au point zéro, zéro. Ainsi, la valeur de l’ordonnée à l’origine sera nulle. Maintenant que nous avons la pente et l’ordonnée à l’origine, nous pouvons mettre cela dans l’équation de la droite. 𝑦 est égal à moins un 𝑥 plus zéro. Bien sûr, nous pouvons simplifier cela pour nous donner 𝑦 est égal à moins 𝑥.
Voyons maintenant comment trouver la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite deux. Nous pouvons dessiner un triangle n’importe où sur cette droite pour nous aider à trouver la pente, mais il est souvent utile de trouver des valeurs entières pour les coordonnées 𝑥 et 𝑦. La droite passe par les coordonnées moins deux, deux et moins un, quatre. Cette fois, la variation de 𝑦 sera de deux et la variation de 𝑥 sera de un. Ainsi, la pente est égale à deux sur un, ce qui donne deux. Il est toujours utile de verifier : puisque cette droite monte de gauche à droite, nous devrions donc avoir une pente positive, ce que nous avons effectivement trouvé.
Ensuite, nous devons trouver l’ordonnée à l’origine de cette droite, nous cherchons donc le point où la droite traverse l’axe des 𝑦. Puisque cela se produit sur l’axe des 𝑦 en six, l’ordonnée à l’origine est six. En mettant ces deux informations dans l’équation générale d’une droite, nous avons que 𝑦 est égal à deux 𝑥 plus six. Nous pouvons maintenant libérer de l’espace afin de trouver l’équation de la droite trois. Commençons encore une fois en trouvant la pente de la droite trois. Cette droite passe par le point un, huit et aussi par le point deux, moins deux. La hausse de cette droite sera donc moins 10. En effet, nous pouvons voir que nous avons huit unités au-dessus de l’axe des 𝑥 et deux unités en dessous. Puis, nous avançons de un sur l’axe des abscisses. Ainsi, la pente, qui est le rapport des variations, peut être écrite comme moins 10 sur un, ce qui se simplifie en seulement moins 10.
Nous pouvons vérifier rapidement cette valeur : cette droite est plus raide que les deux autres, nous pouvons donc nous attendre à ce que la valeur absolue de la pente soit plus grande. Ensuite, elle descend de gauche à droite, ce qui indiquerait que la pente aura une valeur négative. Puisque nous voulons ensuite trouver l’ordonnée à l’origine de cette droite, vous remarquerez peut-être que nous aurons un problème. Nous ne pouvons pas voir où la droite traverse l’axe des 𝑦. Nous devons donc avoir un autre moyen de trouver l’équation de cette droite.
Nous proposons uen autre forme de droite, 𝑦 moins 𝑦 indice un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 indice un, qui est souvent appelée forme point-pente d’une droite. Lorsque nous avons les coordonnées ou le couple ordonné 𝑥 indice un, 𝑦 indice un et que nous connaissons la pente 𝑚, nous pouvons alors substituer ces valeurs dans cette forme point-pente pour trouver l’équation de la droite. Nous avons déjà établi que le point un, huit se trouve sur la droite. Ainsi, un et huit peuvent être nos valeurs 𝑥 un et 𝑦 un. Nous savons que 𝑚, la pente, est égale à moins 10. Nous pouvons donc écrire la forme point-pente et substituer par nos valeurs. 𝑦 moins huit est égal à moins 10 multiplié par 𝑥 moins un.
Lorsque nous distribuons le moins 10 dans la parenthèse, nous aurons moins 10𝑥. Puis, nous aurons moins 10 multiplié par moins un, ce qui nous donne une valeur positive de 10. Nous pouvons isoler la variable 𝑦 sur le côté gauche en ajoutant huit aux deux côtés de cette équation. Nous aurons donc 𝑦 est égal à moins 10𝑥 plus 18. Nous avons maintenant trouvé les trois équations de ces trois droites. Nous pouvons maintenant prendre chaque droite à tour de rôle afin d’identifier la zone et sa comparaison avec l’équation de cette droite.
Lorsque nous avons une droite non pointillée, cela signifie que les valeurs peuvent également se trouver sur cette droite. En d’autres termes, nous aurons dans ce cas des inégalités supérieures ou égales ou inférieures ou égales à. Le triangle, ou la zone indiquée, est au-dessus de la droite un. Ainsi, cela représente toutes les valeurs où 𝑦 est supérieur à moins 𝑥. Rappelez-vous, nous devons également inclure les valeurs où 𝑦 est égal à moins 𝑥. Voici donc la première inégalité. Si la zone avait été indiquée en dessous de cette droite, alors l’inégalité aurait été 𝑦 est inférieur ou égal à moins 𝑥.
Pour la deuxième droite, nous savons que l’équation est 𝑦 égale deux 𝑥 plus six. Cependant, notez que cette droite est en pointillés, donc notre inégalité n’inclura pas les valeurs où 𝑦 est égal à deux 𝑥 plus six. La zone indiquée est en dessous de cette droite, elle représente donc toutes les valeurs où 𝑦 est strictement inférieur à deux 𝑥 plus six. Voici notre deuxième inégalité. Enfin, nous avons la troisième droite avec l’équation 𝑦 égale moins 10𝑥 plus 18. Le triangle, ou la zone indiquée, se trouve en dessous de cette droite, mais quell signe d’inégalité allons-nous avoir ?
Bien, comme nous avons une droite complète et non une droite en pointillée, cela signifie que nous devons également inclure les valeurs où 𝑦 est égal à moins 10𝑥 plus 18. Voilà donc notre troisième inégalité. Nous pouvons donc donner la réponse que le système d’inéquations cherché contient les inégalités 𝑦 est strictement inférieur à deux 𝑥 plus six, 𝑦 est supérieur ou égal à moins 𝑥, et 𝑦 est inférieur ou égal à moins 10𝑥 plus 18. Peu importe l’ordre dans lequel nous écrivons ces inégalités.