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Vidéo de question : Estimer une valeur d’une variable à l’aide d’un modèle de régression Mathématiques

En utilisant les informations du tableau, estimez la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 = 13. Donnez votre réponse à l’unité près.

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Transcription de vidéo

En utilisant les informations du tableau, estimez la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à 13. Donnez votre réponse à l’unité près.

Et nous avons ensuite un tableau contenant des couples de données 𝑥 et 𝑦. Afin d’estimer la valeur de 𝑦 pour une valeur donnée de 𝑥, ici 13, en supposant que la relation entre les variables soit approximativement linéaire, nous devons d’abord déterminer l’équation de la droite de régression. Elle doit être de la forme 𝑦 chapeau égale 𝑎 plus 𝑏𝑥. 𝑏 correspond au coefficient directeur de la droite, et on peut utiliser la formule 𝑆 𝑥𝑦 sur 𝑆 𝑥𝑥 pour le calculer. Nous devons donc calculer 𝑆 𝑥𝑦 et 𝑆 𝑥𝑥. Ou en développant le quotient, on peut réécrire la formule comme 𝑛 fois la somme des 𝑥𝑦 moins la somme des 𝑥 fois la somme des 𝑦 divisée par 𝑛 fois la somme des 𝑥 au carré moins la somme des 𝑥, le tout au carré.

Et une fois que nous aurons la valeur de 𝑏, nous pourrons calculer la valeur de 𝑎. Elle est égale à 𝑦 barre moins 𝑏 fois 𝑥 barre, où 𝑦 barre et 𝑥 barre sont les moyennes respectives de 𝑦 et 𝑥. Nous allons donc devoir commencer par calculer la somme des 𝑥 et des 𝑦, mais également la somme des 𝑥𝑦 et des 𝑥 au carré. Faisons donc un peu de place et ajoutons des lignes et des colonnes à notre tableau.

Commençons par calculer les valeurs des 𝑥𝑦. Pour trouver la première valeur, on multiplie 23 par 22, ce qui donne 506. La valeur suivante est égale au produit de neuf et 24, soit 216. Et en continuant ainsi, on obtient les valeurs 600, 195, 147 et 108. Nous allons ensuite compléter la ligne des 𝑥 au carré. La première valeur est le résultat de 23 au carré, soit 529. On calcule ensuite neuf au carré, ce qui fait 81. 24 au carré égale 576. 15 au carré égale 225. Et les deux valeurs restantes sont 49 et 144. Et nous allons maintenant remplir la dernière colonne de notre tableau. Ce sont les totaux, c’est-à-dire les sommes, de toutes les valeurs de chaque ligne. La somme de toutes les valeurs de 𝑥 est 90. La somme des valeurs de 𝑦 est 114. La somme des valeurs de la ligne 𝑥𝑦 est 1 772. Et la somme des valeurs de 𝑥 au carré est 1 604.

Nous avons maintenant suffisamment d’informations pour pouvoir calculer la valeur de 𝑏 dans l’équation de notre droite de régression des moindres carrés. Puisqu’il y a six couples de données, 𝑛 est égal à six. Et 𝑏 égale 𝑛 fois la somme des 𝑥𝑦. Donc six fois 1 772 moins la somme des 𝑥 fois la somme des 𝑦, soit 90 fois 114, sur 𝑛 fois la somme des 𝑥 au carré, c’est-à-dire six fois 1 604 moins la somme des 𝑥, le tout au carré. Ce qui fait 90 au carré. Cela nous donne 372 divisé par 1 524, ce qui est approximativement égal à 0,244 au millième près. Et nous avons ainsi trouvé la valeur de 𝑏.

Notre prochain étape consiste à calculer la valeur de 𝑎. Rappelez-vous que la formule que nous allons utiliser est 𝑎 égale 𝑦 barre moins 𝑏 𝑥 barre, où 𝑦 barre et 𝑥 barre sont les moyennes respectives de 𝑦 et 𝑥. En d’autres termes, 𝑦 barre est égale à la somme de toutes les valeurs de 𝑦 divisées par 𝑛, et 𝑥 barre est égale à la somme de toutes les valeurs de 𝑥 divisées par 𝑛. Donc, 𝑦 barre égale 114 sur six, ce qui fait 19. Et 𝑥 barre égale 90 divisé par six, ce qui est égal à 15. Ensuite, 𝑎 égale 19 moins 𝑏 fois 15, ce qui donne 15,34 au centième près. En substituant ces valeurs dans l’équation de la droite de régression des moindres carrés, on trouve que 𝑦 chapeau est égal à 15,34 plus 0,244𝑥.

Rappelez-vous cependant que nous recherchons une estimation de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à 13. Nous allons donc remplacer 𝑥 par 13 dans cette équation. Cela donne 𝑦 égale 15,34 plus 0,244 fois 13. Et cela est égal à 18,51, soit 19 à l’entier le plus proche.

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