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Si les deux droites 𝑥 plus trois sur moins huit égale 𝑦 moins quatre sur quatre 𝑛 égale 𝑧 plus un sur 10 et 𝑥 plus cinq sur quatre 𝑛 égale 𝑦 plus 10 sur moins quatre égale 𝑧 moins trois sur moins cinq sont perpendiculaires, déterminez 𝑛.
Cette question nous donne les équations de deux droites et nous indique qu’elles sont perpendiculaires. Et nous devons utiliser ces informations pour trouver la valeur de 𝑛. Commençons pour cela par observer les équations de ces deux droites. Elles sont exprimées par une égalité de trois expressions, ce qui est une forme très utile. Et cette forme d’équation de droite a un nom. On l’appelle la forme cartésienne. Elle est de la forme 𝑥 moins 𝑥 zéro sur 𝑎 égale 𝑦 moins 𝑦 zéro sur 𝑏 égale 𝑧 moins 𝑧 zéro sur 𝑐 pour des constantes non nulles 𝑎, 𝑏 , et 𝑐.
Maintenant, nous souhaitons trouver la valeur de 𝑛. Et nous allons pour cela devoir utiliser l’information selon laquelle nos deux droites sont perpendiculaires. La forme cartésienne est une forme utile pour étudier des droites. Mais, il est difficile d’utiliser la perpendicularité des droites sous cette forme. Cela serait plus simple si les droites étaient exprimées sous une forme nous indiquant leurs vecteurs directeurs, par exemple, la forme vectorielle. Et il est en fait très facile de passer d’une forme à l’autre.
À partir de l’équation cartésienne d’une droite, la forme vectorielle de son équation est la suivante. Le vecteur 𝑟 est égal au vecteur 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro plus 𝑡 fois le vecteur 𝑎, 𝑏, 𝑐. Celle forme nous indique que la droite passe par le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro, et qu’un de ses vecteurs directeurs est le vecteur 𝑎, 𝑏, 𝑐. Utilisons donc cette relation pour exprimer nos deux droites sous forme vectorielle.
Commençons par la première droite. On voit que l’on ajoute trois à 𝑥. Ce qui revient à soustraire moins trois. Donc, la valeur de 𝑥 zéro est moins trois. On voit ensuite que l’on soustrait quatre à 𝑦. Donc, la valeur de 𝑦 zéro est quatre. Et enfin, on ajoute un à 𝑧. Ce qui est bien sûr la même chose que soustraire moins un. Donc, la valeur de 𝑧 zéro est moins un. Et 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont simplement égaux aux dénominateurs des fraction. 𝑎 égale moins huit, 𝑏 égale quatre 𝑛 et 𝑐 égale 10. Il s’agit donc de la forme vectorielle de l’équation de la première droite. Faisons de même pour la deuxième droite.
On suit exactement les mêmes étapes. Et on voit que 𝑥 zéro égale moins cinq, 𝑦 zéro égale moins 10 et 𝑧 zéro égale trois. Et on rappelle à nouveau que les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les dénominateurs des fractions. Donc 𝑎 égale quatre 𝑛, 𝑏 égale moins quatre et 𝑐 égale moins cinq. Nous avons donc à présent les équations vectorielles de nos deux droites. Et nous allons maintenant utiliser la perpendicularité des droites.
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent à angle droit. Mais que cela implique-t-il pour leurs équations vectorielles ? Eh bien, cela signifie que leurs vecteurs directeurs doivent être orthogonaux. Et nous savons comment vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux. Ils sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. Comme nos deux droites sont perpendiculaires, le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs doit être égal à zéro.
Calculons donc ce produit scalaire. On multiplie pour cela les composantes correspondantes de chaque vecteur, puis on additionne ces produits. Le produit scalaire des deux vecteurs est donc égal à moins huit fois quatre 𝑛 plus quatre 𝑛 fois moins quatre plus 10 fois moins cinq. Et en simplifiant, on obtient moins 48𝑛 moins 50.
Mais rappelez-vous que la question indique que ces deux droites sont perpendiculaires. Ce qui signifie que le produit scalaire de ces vecteurs directeurs doit être égal à zéro. En d’autres termes, moins 48𝑛 moins 50 doit être égal à zéro. Et nous pouvons résoudre cette équation pour calculer 𝑛. On isole pour cela 𝑛 sur un membre. On ajoute 50 aux deux membres, puis on divise par moins 48. Cela nous donne 𝑛 égale moins 25 sur 24.
Nous avons ainsi montré que si les deux droites 𝑥 plus trois sur moins huit égale 𝑦 moins quatre sur quatre 𝑛 égale 𝑧 plus un sur 10 et 𝑥 plus cinq sur quatre 𝑛 égale 𝑦 plus 10 sur moins quatre égale 𝑧 moins trois sur moins cinq sont perpendiculaires, alors 𝑛 doit être égal à moins 25 sur 24.
