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Vidéo de question : Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction polynomiale Mathématiques

Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = 11𝑥³ - 8𝑥² est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante.

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Transcription de vidéo

Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale 11𝑥 au cube moins huit 𝑥 au carré est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante.

On nous donne dans la question une fonction polynomiale 𝑓 de 𝑥. Nous voulons trouver les intervalles sur lesquels cette fonction est croissante ainsi que les intervalles sur lesquels elle est décroissante. Rappelons que pour une fonction dérivable 𝑓, nous savons qu'elle est croissante lorsque sa dérivée est supérieure à zéro. En effet, intuitivement, puisque que sa pente sera supérieure à zéro, donc sa pente est orientée vers le haut. Ainsi, elle devient plus grande. Nous rappelons aussi que pour une fonction dérivable 𝑓, nous savons qu'elle est décroissante lorsque sa dérivée est inférieure à zéro. Puisque notre fonction 𝑓 de 𝑥 est polynomiale, elle est dérivable pour tous les nombres réels. Nous voulons donc trouver les intervalles qui contiennent les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la dérivée de 𝑓 est supérieure à zéro et la dérivée de 𝑓 est inférieure à zéro.

Nous commençons par trouver notre fonction dérivée 𝑓 prime de 𝑥. Puisque nous dérivons un polynôme, nous pouvons utiliser la règle de la dérivation des puissances. Nous multiplions par l'exposant puis nous réduisons l'exposant de un. En dérivant notre polynôme terme par terme à l'aide de cette règle, nous obtenons trois fois 11 fois 𝑥 à la puissance trois moins un moins deux fois huit fois 𝑥 à la puissance deux moins un, ce qui nous donne 33𝑥 au carré moins 16𝑥. Ainsi, notre dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est une fonction du second degré. Nous désirons trouver les valeurs de 𝑥 où cette fonction du second degré est supérieure à zéro et les valeurs de 𝑥 où cette fonction du second degré est inférieure à zéro. Nous pouvons utiliser plusieurs méthodes. Nous pouvons dessiner un graphique de 𝑓 prime de 𝑥.

Nous voulons donc dessiner le graphique de 𝑦 égale 33𝑥 au carré moins 16𝑥. Nous voyons que le premier terme de notre polynôme est 33𝑥 au carré. Puisque 33 est positif, notre représentation devrait avoir une forme similaire à celle de la parabole 𝑦 égale 𝑥 au carré. Nous pouvons ensuite trouver les valeurs de nos intersections avec l'axe des 𝑥 en factorisant cette équation. Nous voyons que les deux termes partagent un facteur de 𝑥. En sortant le facteur commun 𝑥, nous obtenons 𝑥 fois 33𝑥 moins 16. Nous pouvons trouver les intersections avec l'axe des 𝑥 de notre courbe en résolvant chaque facteur égal à zéro. Nous obtenons ainsi les intersections avec l'axe des 𝑥 : 𝑥 est égale zéro et 𝑥 est égale 16 sur 33.

Nous pouvons maintenant représenter le graphique de notre dérivée, 𝑦 égale 33𝑥 au carré moins 16𝑥. Nous plaçons nos points d'intersection avec l'axe des 𝑥, soit zéro et 16 sur 33. De plus, nous savons que notre représentation de 𝑦 égale 𝑓 prime de 𝑥 devrait avoir une forme similaire à celle de la parabole 𝑦 égale 𝑥 au carré. Nous souhaitons utiliser ce graphique pour déterminer les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 prime de 𝑥 est supérieure à zéro et pour lesquelles 𝑓 prime de 𝑥 est inférieure à zéro. Cela correspond à trouver les valeurs de 𝑥 où notre courbe se situe au-dessus et au-dessous de l'axe des 𝑥.

Nous voyons que si 𝑥 est inférieure à zéro, notre courbe se situe au-dessus de l'axe des 𝑥. De même, si 𝑥 est supérieure à 16 sur 33, notre courbe se situe également au-dessus de l'axe des 𝑥. Nous avons donc : lorsque 𝑥 est inférieure à zéro, 𝑓 prime de 𝑥 est supérieure à zéro. Puis, lorsque 𝑥 est supérieure à 16 sur 33, 𝑓 prime de 𝑥 est aussi supérieure à zéro. Dire que 𝑥 est inférieure à zéro revient à dire que 𝑥 appartient à l'intervalle ouvert moins ∞ zéro. Dire 𝑥 est supérieure à 16 sur 33 revient à dire que 𝑥 appartient à l'intervalle ouvert 16 sur 33 plus ∞. Nous avons donc trouvé les intervalles où notre fonction 𝑓 de 𝑥 est croissante. Nous pouvons faire de même pour trouver les intervalles où 𝑓 de 𝑥 est décroissante.

A partir de notre représentation, nous pouvons voir que 𝑓 prime de 𝑥 est au-dessous de l'axe des 𝑥 lorsque la valeur de 𝑥 est comprise entre zéro et 16 sur 33. Ainsi, lorsque 𝑥 est supérieure à zéro et 𝑥 est inférieure à 16 sur 33, nous avons que 𝑓 prime de 𝑥 est inférieure à zéro. Cela nous dit que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est décroissante pour toutes les valeurs de 𝑥 sur l'intervalle ouvert zéro 16 sur 33. Par conséquent, nous avons montré que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 11𝑥 au cube moins huit 𝑥 au carré est décroissante sur l'intervalle ouvert zéro 16 sur 33 et croissante sur les intervalles ouverts moins ∞ zéro et 16 sur 33 plus ∞.

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