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Laquelle des droites suivantes a pour vecteur directeur quatre, cinq, un et passe par le point cinq, trois, deux ? L’option (A) 𝐫 est égale à cinq, trois, deux plus 𝑡 fois quatre, cinq, un. L’option (B) 𝐫 est égale à moins cinq, moins trois, moins deux plus 𝑡 fois quatre, cinq, un. L’option (C) 𝐫 égale moins cinq, moins trois, moins deux plus 𝑡 fois moins quatre, moins cinq, un. L’option (D) 𝐫 est égale à cinq, trois, deux plus 𝑡 fois moins quatre, moins cinq, un. L’option (E) 𝐫 égale quatre, cinq, un plus 𝑡 fois cinq, trois, deux.
Dans cette question, on nous donne cinq équations vectorielles de droites et on nous demande de déterminer laquelle de ces droites a pour vecteur directeur quatre, cinq, un et passe par le point cinq, trois, deux.
Pour répondre à cette question, nous pouvons commencer par rappeler qu’un vecteur directeur d’une droite est tout vecteur non nul parallèle à cette droite. Nous pouvons également rappeler qu’une équation vectorielle d’une droite est une équation de la forme 𝐫 égale 𝐫 indice zéro plus 𝑡 fois 𝐝, où 𝐫 indice zéro est le vecteur position de tout point de la droite et 𝐝 est un vecteur directeur de la droite.
Les équations vectorielles d’une droite ne sont pas uniques, car nous pouvons choisir n’importe quel point de la droite pour le vecteur position 𝐫 indice zéro et n’importe quel vecteur directeur de la droite pour 𝐝. Par exemple, nous pourrions noter le vecteur 𝐝 comme quatre, cinq, un et 𝐫 indice zéro comme vecteur cinq, trois, deux. Cela nous donne que 𝐫 est égal au vecteur cinq, trois, deux plus 𝑡 fois le vecteur quatre, cinq, un, que nous pouvons voir comme étant l’option (A).
Nous pourrions nous arrêter là, mais, vérifions les options restantes pour voir si elles sont des équations vectorielles possibles de la droite. Si nous faisions cela, nous trouverions que les options (C), (D) et (E) ne peuvent pas être des équations vectorielles de la droite puisque leurs vecteurs directeurs ne sont pas parallèles au vecteur directeur donné.
Montrer que l’option (B) n’est pas une équation vectorielle possible de la droite est un peu compliqué. Nous aurions besoin de montrer que le point aux coordonnées moins cinq, moins trois, moins deux ne se trouve pas sur la droite donnée. Nous pourrions le faire en résolvant une équation vectorielle, mais cela n’est pas nécessaire. Au lieu de cela, nous pouvons conclure que l’équation vectorielle de l’option (A) a pour vecteur directeur quatre, cinq, un et passe par le point cinq, trois, deux, elle est donc une équation vectorielle de cette droite.