Vidéo : Théorème fondamental de l’analyse : fonctions définies par des intégrales

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment appliquer le théorème fondamental de l’analyse pour déterminer la dérivée d’une fonction définie par une intégrale.

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Le théorème fondamental de l’analyse : fonctions définies par des intégrales

Dans cette leçon, nous allons apprendre comment appliquer le théorème fondamental de l’analyse pour déterminer la dérivée d’une fonction définie par une intégrale. Le théorème fondamental de l’analyse a un nom si grand et si important car il relie les deux branches de l’analyse. A ce stade, nous devrions être familiers avec le fait que le calcul différentiel nous donne un moyen de calculer le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point. Et le calcul intégral nous donne une façon de calculer l’aire sous une courbe entre des bornes ou des limites. Cependant, dans les années 1600, Isaac Barrow, professeur d’Isaac Newton, a réalisé que la dérivation et l’intégration, deux processus apparemment sans rapport, étaient en fait l’inverse l’un de l’autre. Peu de temps après, Newton lui-même, à côté de la ressemblance, compléta le développement de la théorie et formalisa une grande partie de la notation que nous connaissons aujourd’hui.

Voici donc la première partie du théorème fondamental du calcul, que nous allons abréger en TFA pour avoir plus de place. Si la fonction 𝑓 minuscule est continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏 et que la fonction 𝐹 majuscule de 𝑥 est égale à l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑡 par rapport à 𝑡, alors ce qui suit est vrai. La fonction 𝐹 majuscule est continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏. Elle est aussi dérivable sur l’intervalle ouvert entre 𝑎 et 𝑏. Et de manière cruciale, 𝐹 majuscule prime de 𝑥 est égale à 𝑓 minuscule de 𝑥 pour toutes les valeurs de 𝑥 dans l’intervalle ouvert entre 𝑎 et 𝑏. Quelques points sur la notation ici, cela peut sembler un peu étrange au début, mais nous devons trouver notre fonction 𝐹 majuscule de 𝑥 en utilisant l’intégrale définie d’une autre fonction 𝑓 de 𝑡. Et les limites de l’intégration sont 𝑎 et 𝑥.

Il est à noter qu’ici 𝑎 représente une constante indépendante de 𝑥. Maintenant, une des implications de ce théorème est que toute fonction continue, ici 𝑓 minuscule de 𝑥, a une primitive, 𝐹 majuscule de 𝑥. Et bien sûr, la règle importante que nous avons énoncée plus haut, ce théorème nous donne le lien entre dérivation et intégration. Nous pouvons peut-être voir ce lien plus clairement en représentant la partie dérivée comme suit. Bien sûr, nous avons défini 𝐹 majuscule de 𝑥 de la façon suivante, en prenant 𝐹 majuscule prime de 𝑥 lors de la dérivation par rapport à 𝑥. Et bien sûr, cela équivaut à 𝑓 minuscule de 𝑥 selon la ligne précédente. Maintenant que nous voyons le résultat d’un opérateur de dérivation agissant sur une intégrale, nous pourrions commencer à avoir l’impression qu’il s’agit de processus inverses. Nous reviendrons à notre théorie plus tard pour essayer de développer une compréhension intuitive. Mais pour l’instant, regardons un exemple.

Utilisez le théorème fondamental de l’analyse pour déterminer la dérivée de la fonction 𝑔 de 𝑥, qui est égale à l’intégrale entre trois et 𝑥 du logarithme naturel de un plus 𝑡 à la puissance cinq par rapport à 𝑡.

Pour cette question, sachez qu’on nous donne une fonction 𝑔 de 𝑥, qui est définie par une intégrale. On nous demande ensuite de trouver la dérivée de cette fonction. Maintenant, on pourrait d’abord penser à essayer de dériver l’intégrale avec des techniques standard et ensuite de dériver par rapport à 𝑥. Ici, ce serait une erreur, car l’intégrale qui nous a été donnée serait probablement désordonnée et difficile à aborder. Au lieu de cela, la question nous donne un indice que nous devrions utiliser le théorème fondamental de l’analyse, que nous allons abréger en TFA. Plus précisément, la première partie du théorème nous dit que si 𝑓 est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏 et que 𝐹 majuscule de 𝑥 est définie par l’intégrale entre 𝑎 et 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 par rapport à 𝑡. Alors 𝐹 prime de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥 pour toutes les valeurs de 𝑥 sur l’intervalle ouvert entre 𝑎 et 𝑏.

C’est un théorème incroyablement puissant et nous pouvons en comprendre le sens en l’appliquant à notre question. En effet, nous savons que la fonction qui nous a été donnée dans la question correspond bien à la forme du théorème fondamental de l’analyse avec 𝑔 de 𝑥 représentant 𝐹 majuscule de 𝑥, le logarithme naturel de un plus 𝑡 à la puissance cinq représentant la fonction 𝑓 minuscule de 𝑡, la limite inférieure de notre intégration trois étant la constante 𝑎, et bien sûr, la limite supérieure étant 𝑥. Étant donné la correspondance des formes, nous pouvons utiliser directement le théorème fondamental de l’analyse pour obtenir un résultat pour 𝑔 prime de 𝑥, qui représente ici la fonction 𝐹 majuscule prime de 𝑥. Nous connaissons la fonction 𝑓 minuscule de 𝑡 et donc pour trouver 𝑓 minuscule de 𝑥, nous remplaçons simplement 𝑡s par 𝑥s. Cela signifie que 𝑓 minuscule de 𝑥 égale le logarithme naturel de un plus 𝑥 à la puissance cinq. Et en fait, nous avons atteint notre réponse pour 𝑔 prime de 𝑥.

Maintenant, l’idée clé qui nous a aidé à résoudre cette question était que nous n’avions pas besoin de nous soucier de l’intégration du log naturel de un plus 𝑡 à la puissance cinq. Cela aurait conduit à de longs calculs. Mais au lieu de cela, le théorème fondamental de l’analyse nous a permis d’atteindre un résultat beaucoup plus vite. N’oubliez pas de faire attention aux questions pièges de cette forme, où vous devez trouver la dérivée d’une intégrale. Et la fonction à l’intérieur de l’intégrale semble en pratique difficile à évaluer. La première partie du théorème fondamental de l’analyse vous fournira un itinéraire alternatif utile.

Bon, revenons à notre théorie et regardons une représentation visuelle pour approfondir notre compréhension. Nous avons une fonction 𝑓 minuscule, qui est continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏. Maintenant, l’intégrale entre 𝑎 et 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 par rapport à 𝑡 peut être considérée comme l’aire sous la courbe entre les limites de l’intégration 𝑎 et 𝑥. Nous pouvons définir une fonction 𝐹 majuscule comme cette aire. Ainsi, 𝐹 majuscule de 𝑥 est égale à l’intégrale entre 𝑎 et 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 par rapport à 𝑡. Maintenant, il faut noter que 𝑥 est une variable et peut prendre n’importe quelle valeur dans l’intervalle entre 𝑎 et 𝑏 sur lequel nous avons indiqué la continuité.

Pour montrer ce que nous entendons par cela, ajoutons quelques étiquettes. Sur notre premier diagramme, nous avons 𝑥 un. Et sur notre deuxième diagramme, nous avons 𝑥 deux. Pour notre premier diagramme, l’aire est donc exprimée par 𝐹 majuscule de 𝑥 un. Et pour notre deuxième diagramme, l’aire est exprimée par 𝐹 majuscule de 𝑥 deux. Dans cet exemple, l’aire, 𝐹 de 𝑥 deux, est clairement plus grande que 𝐹 de 𝑥 un. Mais le théorème fondamental de l’analyse concerne en fait la dérivée 𝑓 prime de 𝑥. Bien sûr, c’est 𝐹 majuscule de 𝑥 dérivée par rapport à 𝑥, donc d par d𝑥 de cette intégrale.

Bon, mais qu’est-ce que cela signifie vraiment ? Eh bien, si nous pensons à notre intégrale comme l’aire sous une courbe et que nous considérons une dérivée comme le taux de variation, alors 𝐹 majuscule prime de 𝑥, la dérivée de notre intégrale, est le taux de variation de cette aire par rapport à 𝑥. En d’autres termes, quel est le taux de variation de l’aire de cette forme géométrique dû à un changement de 𝑥 ? Nous n’irons pas trop loin dans les décimales infinies ou les limites ici. Mais nous pouvons à nouveau avoir une compréhension visuelle avec nos graphiques. Le théorème fondamental de l’analyse nous dit que 𝐹 majuscule prime de 𝑥 est égale à 𝑓 minuscule de 𝑥. Donc le taux de variation de l’aire est la hauteur de la courbe en ce point. Le taux de variation de cette aire est la fonction 𝑓 minuscule évaluée en 𝑥 un. Et le taux de variation de cette aire est la fonction 𝑓 minuscule évaluée en 𝑥 deux.

Visuellement, il devrait être logique que si le côté droit de notre forme géométrique a une plus grande hauteur, alors son aire change d’une plus grande quantité lorsque 𝑥 change. Dans notre exemple, nous voyons cela représenté par le fait que 𝑓 de 𝑥 deux est strictement supérieure à 𝑓 de 𝑥 un. Un dernier point pour terminer cet exemple visuel, ne confondez pas le taux de changement de l’aire avec le gradient de la courbe. Rappelez-vous, c’est la hauteur. Encore une fois, nous ne nous sommes pas approfondis dans les détails des décimales infinies ici, mais nous espérons que cela devrait renforcer notre intuition quand il s’agit des principes sous-jacents du théorème fondamental de l’analyse.

Voyons maintenant un autre exemple pour nous entraîner à appliquer cela.

Utilisez le théorème fondamental de l’analyse pour déterminer la dérivée de la fonction 𝑅 de 𝑦 égale l’intégrale entre 𝑦 et cinq de trois 𝑡 au carré sin deux 𝑡 par rapport à 𝑡.

Pour cette question, nous reconnaissons d’abord que nous avons une fonction définie par une intégrale 𝑅 majuscule de 𝑦. Et on nous demande de déterminer la dérivée de cette fonction, 𝑅 majuscule prime de 𝑦. Un outil que nous pouvons utiliser pour résoudre ce problème, comme la question nous le dit, est le théorème fondamental de l’analyse. La première partie de ce théorème nous dit que si 𝑓 minuscule est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏, et que la fonction 𝐹 majuscule de 𝑥 est définie par l’intégrale entre 𝑎 et 𝑥 de 𝑓 minuscule de 𝑡 par rapport à 𝑡. Alors 𝐹 prime de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥 pour toutes les valeurs de 𝑥 sur l’intervalle ouvert entre 𝑎 et 𝑏. Or, l’équation donnée dans notre question n’a pas une fonction 𝐹 majuscule de 𝑥, mais en a une 𝑅 majuscule de 𝑦.

Avant de commencer à penser à 𝑅 prime de 𝑦, retournons sur 𝑅 de 𝑦 pour voir si nous avons la forme d’équation correcte pour appliquer le théorème fondamental d’analyse. Nous avons en effet une fonction définie par une intégrale et une fonction continue comme notre intégrale. Cependant, la variable sur laquelle nous travaillons, 𝑦, apparaît comme la limite inférieure de l’intégration, et nous avons une constante comme limite supérieure. C’est l’inverse du théorème fondamental de l’analyse, où la variable est la limite supérieure et la constante la limite inférieure. Cela signifie que les positions de nos limites sont inversées. Heureusement, l’une des propriétés des intégrales est que l’inversion des positions des limites et la multiplication par moins un donne l’Intégrale d’origine. Nous pouvons faire cela à l’intégrale qui définit 𝑅 de 𝑦. Et bien sûr, peu importe que ce facteur moins un soit à l’intérieur ou à l’extérieur de notre intégrale.

Maintenant que notre équation est sous la forme correcte avec une variable apparaissant comme la limite supérieure et la constante apparaissant comme la limite inférieure, on peut utiliser le théorème fondamental de l’analyse. Cela nous permet de dire que 𝑅 majuscule prime de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑦. Et rappelons que la variable est 𝑦 et non 𝑥. En regardant notre intégrale, nous devons trouver que 𝑓 minuscule de 𝑡 est moins trois 𝑡 au carré sin deux 𝑡. Cela signifie que pour 𝑓 de 𝑦 minuscule, nous remplacerons tous nos 𝑡s par 𝑦s. Nous trouvons donc que 𝑅 majuscule prime de 𝑦 égale moins trois 𝑦 au carré sin deux 𝑦. Et nous avons donc répondu à notre question. Nous avons déterminé la dérivée 𝑅 majuscule prime de 𝑦 en utilisant le théorème fondamental de l’analyse. Et cela nous a permis d’éviter d’évaluer l’intégrale définie donnée dans la question, ce qui aurait pu conduire à des calculs compliqués ou longs.

Bon, dans les exemples que nous avons vus jusqu’à présent, les limites de notre intégrale impliquaient une constante 𝑎 et la variable sur laquelle 𝐹 majuscule fonctionne qui est, bien sûr, 𝑥. Et si, au contraire, cette limite n’était pas 𝑥 mais 𝑥 au carré. Ou bien, la limite était une autre fonction de 𝑥. Disons 𝑢 de 𝑥. Vous pouvez rencontrer diverses équations de cette forme et nous allons voir comment les traiter dans l’exemple suivant.

Utilisez le théorème fondamental de l’analyse pour déterminer la dérivée de la fonction 𝑦 de 𝑥 égale l’intégrale entre deux et 𝑥 à la puissance quatre de cinq cos au carré cinq 𝜃 par rapport à 𝜃.

Ici, nous avons une fonction 𝑦 de 𝑥, qui est définie par une intégrale. Pour trouver cette dérivée, au lieu d’évaluer directement l’intégrale, nous allons utiliser le théorème fondamental de l’analyse. La première partie du théorème nous dit que si 𝑓 minuscule est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏 et que nous avons une autre fonction 𝐹 majuscule de 𝑥, qui est définie par l’intégrale entre 𝑎 et 𝑥 de 𝑓 minuscule de 𝑡 par rapport à 𝑡. Alors 𝐹 majuscule de 𝑥 est égale à 𝑓 minuscule de 𝑥 pour tout 𝑥 sur l’intervalle ouvert entre 𝑎 et 𝑏. Vérifions maintenant que nous avons la bonne forme à utiliser.

La fonction définie par l’intégrale est 𝑦 de 𝑥 au lieu de 𝐹 majuscule de 𝑥. Notre intégrale est une fonction qui est en fait continue sur tout l’ensemble des nombres réels. Et c’est 𝑓 minuscule de 𝜃 au lieu de 𝑓 minuscule de 𝑡. La limite inférieure de notre intégrale est deux, qui est une constante. Cependant, ici nous nous rencontrons le problème que la limite supérieure n’est pas 𝑥 mais plutôt 𝑥 à la puissance quatre. Et ceci est une fonction de 𝑥. Pour utiliser le théorème fondamental de l’analyse, il faudra donc faire une modification. D’abord, nous exprimons 𝑦 de 𝑥 sous une forme légèrement plus ordonnée. Ensuite, nous définirons notre limite supérieure gênante comme autre chose, par exemple, la variable 𝑢. Nous avons alors 𝑦 de 𝑥 égale l’intégrale entre deux et 𝑢 de 𝑓 de 𝜃 d𝜃.

Maintenant, nous devons trouver 𝑦 prime de 𝑥, qui est 𝑦 de 𝑥 dérivée par rapport à 𝑥. Nous pouvons écrire ceci comme d par d𝑥 de l’intégrale que nous avons formée ici. C’est l’étape à laquelle le problème se poserait. On ne peut pas encore utiliser directement le théorème fondamental de l’analyse pour évaluer, puisque notre limite supérieure ne correspond pas à la variable 𝑥. Un outil que nous pouvons utiliser pour avancer est la règle de substitution en chaîne qui nous dit que d𝑦 par d𝑥 égale d𝑦 par d𝑢 fois d𝑢 par d𝑥. Bien sûr, nous avons ici d𝑦 par d𝑥. A cette étape cruciale, la règle de la substitution en chaîne nous permet de ré-exprimer cela comme d𝑦 par d𝑢 fois d𝑢 par d𝑥. En regardant cette partie de l’équation, nous voyons maintenant qu’elle peut être évaluée en utilisant le théorème fondamental de l’analyse puisque nous prenons une dérivée par rapport à 𝑢 et notre limite supérieure est en effet 𝑢.

Vous pouvez le voir plus clairement en remarquant que la forme correspond maintenant à celle qui est indiquée ici. En utilisant le théorème, nous pouvons dire que ceci égale 𝑓 de 𝑢. Et donc, 𝑦 prime de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑢 d𝑢 par d𝑥. En fait, c’est une généralisation extrêmement utile que nous pouvons utiliser lorsque les limites de notre intégrale impliquent une fonction de 𝑥 plutôt que 𝑥 elle-même. Pour avancer dans notre question, nous pouvons maintenant substituer à nouveau dans l’équation en utilisant notre définition, qui est que 𝑢 égale 𝑥 à la puissance quatre. Nous rappelons maintenant que 𝑓 de 𝜃 égale cinq cos au carré cinq 𝜃. En remplaçant notre 𝜃 par 𝑥 à la puissance quatre, nous obtenons 𝑓 de 𝑥 à la puissance quatre égale cinq cos carré cinq 𝑥 à la puissance quatre.

Ensuite, il faut dériver 𝑥 à la puissance quatre par rapport à 𝑥. Et bien sûr, il s’agit de quatre 𝑥 au cube. En multipliant ces deux termes ensemble, il nous reste 20𝑥 au cube fois cos au carré cinq 𝑥 à la puissance quatre. Et finalement, nous avons la réponse à notre question, puisque c’est 𝑦 prime de 𝑥.

Cet exemple illustre une modification très utile au théorème fondamental de l’analyse. La méthode peut être généralisée pour traiter les intégrales, qui ont des limites prenant d’autres fonctions de 𝑥. Voyons maintenant un dernier exemple.

Déterminez la dérivée de la fonction 𝑔 de 𝑥 égale l’intégrale entre un moins deux 𝑥 et un plus 𝑥 de cinq 𝑡 sin 𝑡 par rapport à 𝑡.

Pour cette question, on nous donne une fonction définie par une intégrale, 𝑔 de 𝑥. Et on nous demande de déterminer sa dérivée, 𝑔 prime de 𝑥. Pour ce faire, nous allons utiliser la première partie du théorème fondamental de l’analyse, qui nous dit que si nous avons une équation sous cette forme, nous pouvons directement déterminer sa dérivée en utilisant les règles suivantes. Ici, nous avons réécrit notre équation. En définissant 𝑓 de 𝑡 égale cinq 𝑡 sin 𝑡. Maintenant, la première chose que nous allons remarquer en observant notre intégrale est que non seulement d’autres fonctions de limites supérieures et inférieures de 𝑥 au lieu de 𝑥 elle-même. Mais il en qui sont une constante, dont nous avons besoin pour utiliser notre théorème.

À ce stade, nous pouvons rappeler qu’une intégrale peut être découpée de la manière suivante. Pour conceptualiser cela, il peut être utile d’interpréter une intégrale définie comme étant l’aire sous une courbe, comme indiqué. En utilisant cette méthode, nous pouvons introduire artificiellement une constante que nous appellerons 𝑎 dans les intégrales qui forment maintenant notre somme. Ensuite, nous remarquons que notre première intégrale comporte cette constante comme limite supérieure au lieu de sa limite inférieure. Et nous devons inverser pour utiliser le théorème fondamental de l’analyse. Heureusement, changer les limites d’une intégrale et multiplier par moins un donne le même résultat. Et donc nous pouvons le faire.

Nous sommes un peu plus près de la forme dont nous avons besoin maintenant. Cependant, souvenez-vous que la limite supérieure de ces deux intégrales au lieu d’être 𝑥 est une fonction de 𝑥. Pour avancer, nous pouvons utiliser la forme modifiée suivante du théorème fondamental de l’analyse. Si 𝑓 minuscule est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏, et 𝐹 majuscule de 𝑥 est définie par l’intégrale entre 𝑎 et une certaine fonction de 𝑥, que nous appellerons 𝑢 de 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 par rapport à 𝑡. Alors 𝐹 majuscule prime de 𝑥 égale 𝑓 minuscule de 𝑢 de 𝑥 fois d par d𝑥 de 𝑢 de 𝑥, où 𝑢 de 𝑥 appartient à l’intervalle ouvert entre 𝑎 et 𝑏. Donc en regardant de nouveau 𝑔 de 𝑥, elle est maintenant exprimée comme la somme de deux intégrales distinctes.

Étant donné les règles de dérivation, nous avons limité 𝑔 prime de 𝑥 simplement en dérivant chacun de ces termes individuellement. Et donc, notre théorème modifié peut aussi être appliqué individuellement aux deux termes. Pour le premier terme, notre limite supérieure est la fonction un moins deux 𝑥. Notre théorème modifié nous dit que cette fonction est donc égale à moins 𝑓 de un moins deux 𝑥 fois d par d𝑥 de un moins deux 𝑥. Notre deuxième terme prend la même forme, mais en utilisant la limite supérieure de un plus 𝑥. Nous nous rappelons maintenant que 𝑓 de 𝑡 égale cinq 𝑡 sin 𝑡. Pour 𝑓 de un moins deux 𝑥, nous remplacerons tous les termes 𝑡 de cette équation par un moins deux 𝑥. Nous devons ensuite multiplier ce résultat par la dérivée de un moins deux 𝑥.

Pour notre deuxième terme, nous suivons exactement le même modèle, en substituant d’abord en 𝑓 minuscule et en trouvant ensuite la dérivée de un plus 𝑥 et en multipliant. Après un peu de simplification, nous obtenons le résultat suivant. Nous avons maintenant terminé notre question et nous avons trouvé la dérivée 𝑔 prime de 𝑥. Cet exemple illustre que nous pouvons utiliser la version modifiée du théorème fondamental de l’analyse même lorsque la fonction que nous avons est définie par une intégrale impliquant deux fonctions différentes de 𝑥 aux limites supérieures et inférieures.

Pour terminer, passons en revue quelques points clés. La première partie du théorème fondamental de l’analyse nous dit que si 𝑓 minuscule est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏, et que la fonction 𝐹 majuscule de 𝑥 est définie par l’intégrale entre 𝑎 et 𝑥 de 𝑓 minuscule de 𝑡 par rapport à 𝑡. Alors 𝐹 majuscule est continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏, est dérivable sur l’intervalle ouvert entre 𝑎 et 𝑏 et 𝐹 majuscule prime de 𝑥 égale 𝑓 minuscule de 𝑥 pour toutes les valeurs de 𝑥 sur l’intervalle ouvert entre 𝑎 et 𝑏. Si la variable apparaît comme la limite inférieure de l’intégration au lieu de la limite supérieure, alors vous pouvez inverser les limites et multiplier par moins un, ce qui égale l’Intégrale d’origine.

La première partie du théorème fondamental de l’analyse peut être modifiée lorsque la limite ou les limites impliquent des fonctions de 𝑥 au lieu de 𝑥 elle-même. Et ici cette fonction que nous avons appelée 𝑢 de 𝑥. Quand une fonction est définie par une intégrale dans laquelle les deux limites sont indépendantes de 𝑥, l’intervalle pourrait être découpée pour inclure artificiellement des constantes dans les limites. Vous pouvez alors inverser les limites comme indiqué précédemment et ensuite la multiplier par moins un. La question peut alors être résolue en appliquant le théorème fondamental de l’analyse modifié sur chacune de ces intégrales individuellement.

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