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Vidéo de question : Détermination de la direction de la résultante de deux forces perpendiculaires Mathématiques

Deux forces de vecteurs orthogonaux et d’intensités 88 N et 44 N agissent en un point. Leur résultante forme un angle 𝜃 avec la force d’intensité 88 N. Calculez sin 𝜃.

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Transcription de vidéo

Deux forces perpendiculaires d’intensités 88 newtons et 44 newtons agissent en un point. Leur résultante fait un angle 𝜃 avec la force de 88 newtons. Calculez la valeur de sin 𝜃.

Eh bien, la clé ici est ce mot « orthogonaux » car on nous dit que les deux forces sont perpendiculaires l’une à l’autre. Donc ce que l’on va faire tout d’abord, c’est tracer un schéma. On a ici un schéma de nos forces de 44 newtons et 88 newtons. Et comme on peut le voir, elles sont perpendiculaires car elles forment un angle droit. Et on nous dit aussi que leur résultante fait un angle 𝜃 avec la force de 88 newtons. On met cela sur notre schéma également.

Alors, pour nous aider à déterminer la valeur du sinus 𝜃, on peut simplement ajouter cet autre côté. Eh bien, on a un triangle rectangle en effet. On ajoute l’angle 𝜃. Et puis on a deux côtés ; ce sont 88 newtons et 44 newtons. Eh bien, si l’on se souvient de notre SOHCAHTOA, qui est une aide à la mémoire que l’on utilise pour se souvenir des rapports trigonométriques, on peut voir que le sin 𝜃 sera égal à l’opposé sur l’hypoténuse.

Si on regarde notre schéma, le côté opposé est de 44 newtons. Cependant, on ne connait pas l’hypoténuse. La première chose à faire est donc de déterminer l’hypoténuse. Et l’hypoténuse est, en fait, notre résultante. Et pour ce faire, on utiliser le théorème de Pythagore. Et ce que cela nous dit, c’est que si l’on a le côté le plus long, l’hypoténuse 𝑐, et les deux autres côtés sont 𝑎 et 𝑏, alors on peut dire que 𝑐 carré est égal à 𝑎 carré plus 𝑏 carré. C’est-à-dire que 𝑅 au carré est égal à 44 au carré plus 88 au carré. Donc 𝑅 au carré va être égal à la racine de 9680.

Si on prend la racine carrée des deux côtés, on obtient 𝑅 est égal à 44 racine de cinq. Alors la valeur négative ne nous intéresse pas, car on cherche simplement la valeur de la norme de 𝑅. Donc, on prend les valeurs positives. On obtient 44 fois racine de cinq. Ensuite c’est que l’on va faire c’est substituer dans le côté opposé et l’hypoténuse. On obtient sin 𝜃 est égal à 44, ce qui est notre côté opposé sur l’hypoténuse, qui est 44 fois racine de cinq. On voit un facteur commun au numérateur et au dénominateur. On peut donc diviser par 44. Cela donne sin 𝜃 est égal à un sur la racine de cinq.

Alors on sait bien que si l’on a un sur la racine de cinq, alors on peut rationaliser ce dénominateur. Et on le fait en multipliant un sur racine de cinq par racine de cinq sur racine de cinq. Eh bien, la raison pour laquelle on multiplie par la racine de cinq sur la racine de cinq est que si l’on multiplie la racine de cinq par la racine de cinq, cela donne cinq. C’est-à-dire, si l’on multiplie une racine par elle-même, on obtient ce qui est sous la racine. Et si l’on réfléchit un peu plus sur la raison de cela, on voit évidemment que la racine carrée de cinq fois cinq est égal à la racine carrée de 25 Eh bien, la racine de 25 n’est que cinq.

Et finalement on obtient comme résultat la racine de cinq sur cinq. Pour conclure, on peut dire que si deux forces perpendiculaires d’intensités 88 newtons et 44 newtons agissent en un point et que leur résultante forme un angle 𝜃 avec la force de 88 newtons, alors la valeur de sin 𝜃 est racine cinq sur cinq.

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