Vidéo de la leçon: Inéquations linéaires en deux étapes Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment résoudre une inéquation linéaire en deux étapes. Nous commencerons par rappeler quelques notations clés et nous rappellerons comment résoudre les inéquations linéaires en une étape. Nous examinerons ensuite les questions impliquant la mise en place et la résolution des inéquations linéaires en deux étapes, y compris celles impliquant des problèmes du monde réel. Nous commencerons par voir comment nous pouvons écrire des inégalités et ce qu'elles signifient. Si nous considérons la variable 𝑥 et la constante trois, il existe quatre façons différentes de les lier à l'aide d'un signe d'inégalité.

La première inégalité signifie que 𝑥 est strictement supérieur à trois. La deuxième inégalité signifie que 𝑥 est strictement inférieur à trois. La troisième inégalité signifie que 𝑥 est supérieur ou égal à trois. Et enfin, l'inégalité inférieure signifie que 𝑥 est inférieur ou égal à trois. Ces inégalités peuvent également être écrites sous forme d'intervalles. Si 𝑥 est strictement supérieur à trois, il peut prendre n'importe quelle valeur supérieure à trois jusqu'à plus ∞. Lorsque 𝑥 est strictement inférieur à trois, il peut prendre toute valeur inférieure à trois jusqu'à to négatif ∞. Notez ici que nous avons des crochets ou des parenthèses car notre valeur ne peut jamais atteindre plus ∞ ou moins ∞, et elle est également supérieure à trois et inférieure à trois. Lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à trois, nous utilisons un crochet carré à côté des trois. Cela est également vrai lorsque 𝑥 est inférieur ou égal à trois.

Plus ∞ et moins ∞ auront toujours un crochet. On pourrait aussi nous dire que 𝑥 se situe dans l'intervalle entre quatre et huit. Il y a un crochet carré par les quatre, ce qui signifie que 𝑥 est supérieur ou égal à quatre. Comme il y a un crochet entre les huit, 𝑥 doit être inférieur à huit. Cela peut être écrit en utilisant des signes d'inégalité. 𝑥 est supérieur ou égal à quatre et inférieur à huit. Nous pouvons également afficher cela en utilisant la notation d'ensemble, où 𝑥 contient toutes les valeurs entières comprises entre quatre et sept inclus. Comme 𝑥 est strictement inférieur à huit, cela n'est pas inclus dans notre ensemble. Nous allons maintenant libérer de l'espace pour montrer comment les inégalités peuvent être affichées sur une droite graduée.

Considérons les deux exemples 𝑥 est strictement supérieur à trois et 𝑥 est supérieur ou égal à trois. Si 𝑥 est strictement supérieur à trois, nous avons un cercle ouvert à trois sur la droite graduée. Comme 𝑥 peut prendre une valeur supérieure à celle-ci, nous dessinons une flèche vers la droite. Le seul changement lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à trois se produit au numéro trois, où nous colorons le cercle ou le point. Cela indique que 𝑥 peut maintenant prendre la valeur trois ou n'importe quel nombre vers la droite.

Nous allons maintenant avoir un rappel rapide de la façon dont nous résolvons les inégalités en une étape. Nous pouvons résoudre les inégalités en une étape de la même manière que nous résolvons les équations en une étape. Examinons les quatre inéquations présentées. Premièrement, nous avons 𝑥 plus trois est strictement supérieur à cinq. Pour résoudre ce problème, nous effectuons l'opération inverse ou réciproque. L'opposé de l'addition de trois en soustraction de trois. La soustraction de trois des deux côtés de l'inégalité nous donne la réponse 𝑥 est strictement supérieur à deux. L'inverse ou l'opposé de la soustraction de neuf est l’addition de neuf.

Comme quatre plus neuf est égal à 13, la solution à notre deuxième inégalité est que 𝑥 est inférieur ou égal à 13. Cinq 𝑥 signifie cinq multiplié par 𝑥. L'inverse de la multiplication par cinq est la division par cinq. 35 divisé par cinq est égal à sept. Donc, 𝑥 est supérieur ou égal à sept. Dans notre dernière inégalité en une étape, nous devons multiplier les deux côtés par sept. Le côté gauche devient 𝑥, et quatre multiplié par sept est 28. La réponse à cette inégalité est donc 𝑥 est strictement inférieure à 28. Nous allons maintenant passer à la résolution de certains problèmes impliquant des inégalités en deux étapes.

Trouver l’ensemble solution de trois 𝑥 moins sept est strictement inférieur à moins quatre étant donné que 𝑥 est un nombre naturel.

Avant d'essayer de résoudre cette inégalité, il convient de rappeler ce qu'est un nombre naturel. Les nombres naturels sont les entiers non négatifs, par exemple zéro, un, deux, trois, quatre, etc. Nous allons maintenant résoudre l'inégalité donnée et trouver lequel de ces nombres satisfait l'inégalité. Notre inégalité indique que trois 𝑥 moins sept est strictement inférieur à moins quatre. Nous pouvons résoudre ce problème en utilisant des opérations inverses. Notre première étape consiste à ajouter sept aux deux côtés de l'inégalité, car l'opposé de soustraire sept en ajoute sept. Moins quatre plus sept est égal à trois, donc trois 𝑥 est strictement inférieur à trois.

Notre deuxième et dernière étape consiste à diviser par trois les deux côtés de cette nouvelle inégalité. Trois 𝑥 divisé par trois est égal à 𝑥 et trois divisé par trois est égal à un. La solution à notre inégalité est que 𝑥 est strictement inférieur à un. Cette réponse peut être écrite en notation d'intervalle, où 𝑥 peut prendre n'importe quelle valeur strictement inférieure à un jusqu’à moins ∞. Dans cette question, cependant, on nous demande l’ensemble solution. 𝑥 devait également être un nombre naturel. Le seul nombre naturel inférieur à un est zéro. Cela signifie que l’ensemble solution de l’inéquation trois 𝑥 moins sept est strictement inférieur à moins quatre où 𝑥 est un nombre naturel est l'ensemble contenant le nombre zéro.

Nous allons maintenant regarder un deuxième exemple où nous devons écrire l’ensemble solution comme un intervalle.

Trouvez l’ensemble solution de l’inéquation moins deux 𝑥 plus trois est inférieur ou égal à cinq. Écrivez votre réponse sous forme d'intervalle.

La première partie de cette question consistera à résoudre l’inéquation en deux étapes. Nous allons donc écrire cette réponse comme un intervalle. L’inéquation moins deux 𝑥 plus trois est inférieure ou égale à cinq peut être résolue en utilisant des opérations inverses. Notre première étape consiste moins trois des deux côtés de l'inégalité. Comme cinq moins trois est égal à deux, nous avons moins deux 𝑥 est inférieur ou égal à deux. Notre deuxième et dernière étape consiste à diviser les deux côtés de l'inégalité par moins deux. Nous devons faire attention ici, comme nous nous en souvenons, si 𝑥 négatif est strictement inférieur à quatre, alors 𝑥 est strictement supérieur à moins quatre.

Lors de la division d'une inégalité par un nombre négatif, le signe change également. Moins deux 𝑥 divisé par moins deux est 𝑥. Deux divisé par moins deux est moins un. Si moins deux 𝑥 est inférieur ou égal à deux, alors 𝑥 est supérieur ou égal à moins un. Cela signifie que 𝑥 peut prendre n'importe quelle valeur supérieure ou égale à une valeur négative. On nous a demandé d'écrire ceci comme un intervalle, donc 𝑥 est supérieur ou égal à moins un mais inférieur à plus ∞. L'égalité à une partie de l'inégalité signifie que nous avons un crochet carré à côté de moins un. Plus ∞ et moins ∞ auront toujours un crochet ou des parenthèses car nous ne pourrons jamais atteindre ces valeurs.

Notre prochaine question consistera à écrire une inégalité dans un cadre pratique.

Un magasin de bonbons a une offre spéciale ; si vous dépensez plus de 15 dollars, vous obtenez une boisson au chocolat gratuite. Les coffrets cadeaux sont de trois dollars chacun, et les chocolats sont de deux dollars par 50 grammes. Écrivez une inégalité pour trouver 𝑤, le poids de chocolat que vous devez acheter avec un coffret cadeau, si vous souhaitez recevoir une boisson au chocolat gratuite.

Nous savons que l'offre spéciale d'une boisson au chocolat gratuite se produit si vous dépensez plus de 15 dollars. Cela signifie que notre expression doit être supérieure à 15. Nous savons qu'un coffret cadeau coûte trois dollars. Nous savons également que les chocolats coûtent deux dollars pour 50 grammes. En divisant les deux par deux, nous pouvons acheter 25 grammes de chocolat pour un dollar. Le poids de chocolat que nous devons acheter est de 𝑤. Par conséquent, le coût de ce montant sera 𝑤 divisé par 25, comme chaque 25 grammes de chocolat coûte un dollar. Nous achetons également une boîte cadeau qui coûte trois dollars. Cela signifie que nos dépenses totales sont supérieures à 25 plus trois.

Pour recevoir le cadeau gratuit, celui-ci doit être supérieur à 15. L’inéquation pour trouver 𝑤 est donc 𝑤 supérieure à 25 plus trois est strictement supérieure à 15. Bien que nous n'ayons pas besoin de le faire dans cette question, nous pourrions résoudre l’inéquation d'abord soustrayant trois des deux côtés. Cela nous donnerait 𝑤 plus de 25 est strictement supérieur à 12. Notre deuxième étape serait de multiplier cette inégalité par 25. L'opération inverse ou réciproque de la division par 25 est multipliée par 25. 12 multipliée par 25 est égale à 300. Cela signifie que vous auriez besoin d'acheter plus de 300 grammes de chocolat pour bénéficier de la boisson au chocolat gratuite.

Notre prochaine question consistera à mettre en place puis à résoudre une inégalité en deux étapes.

Matthew a besoin d'acheter des vêtements. Le parking du magasin a le signe montré à l'extérieur. Parking : la première heure est gratuite, un dollar 50 par heure ensuite. Écrivez une inégalité pour 𝑡, le temps en heures, que Matthew peut garer s'il n'a que huit dollars 25 en espèces. Étant donné que vous devez payer des heures entières de stationnement, utilisez votre inégalité pour trouver le temps maximum que Matthew peut garer.

Examinons les informations données sur le panneau. On nous dit que la première heure de stationnement est gratuite et que la durée de stationnement en heures est de 𝑡. Chaque heure après cela coûte un dollar 50. Donc, nous aurions pu voir que nous devons multiplier un dollar 50 par 𝑡. Cependant, comme cette première heure est gratuite, nous devons multiplier un dollar 50 ou 1,5 par 𝑡 moins un. Nous savons qu'un stationnement de deux heures ne coûterait qu'un dollar 50. Et le remplacement de deux dans cette expression nous donne un dollar 50. De même, trois heures de stationnement coûteraient trois dollars car la première heure est gratuite. La substitution de trois dans l'expression nous donne trois moins un, ce qui est égal à deux, et la multiplication par 1,5 nous donne trois dollars.

Matthew n'a que huit dollars et 25 cents en espèces. Par conséquent, cette expression doit être inférieure ou égale à 8,25. Nous pourrions distribuer les parenthèses sur le côté gauche. Cependant, il n'est pas nécessaire pour le moment. L’inéquation en fonction de 𝑡 est de 1,5 multipliée par 𝑡 moins un est inférieur ou égal à 8,25. La deuxième partie de cette question nous demande de résoudre l’inéquation pour trouver le temps maximum que Matthew peut garer. Nous pouvons résoudre l’inéquation en utilisant des opérations inverses.

Notre première étape consiste à diviser les deux côtés par 1,5. Le côté gauche de l’inéquation devient 𝑡 moins un. 8,25 divisé par 1,5 est 5,5. Par conséquent, 𝑡 moins un est inférieur ou égal à 5,5. Notre deuxième et dernière étape consiste à en ajouter un aux deux côtés de la nouvelle inégalité. Cela nous donne 𝑡 est inférieur ou égal à 6,5. On nous dit que vous devez payer des heures entières de stationnement. Par conséquent, 𝑡 doit être un entier. Comme 𝑡 doit être inférieur ou égal à 6,5, la plus grande valeur entière qu'il peut prendre est de six. Cela signifie que le temps maximum pendant lequel Matthew peut se garer est de six heures.

Nous allons maintenant résumer certains des points clés de cette vidéo pour résoudre les inéquations linéaires en deux étapes. Les inéquations linéaires en deux étapes sont généralement écrites sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 est strictement supérieur à 𝑐. Il existe quatre signes possibles, supérieur, inférieur, supérieur ou égal à ou inférieur ou égal à. La solution ou la réponse finale peut être écrite sous forme d'intervalle ou d'ensemble de solutions. Il peut même être affiché sur une droite graduée. Si 𝑥 est strictement supérieur à quatre et inférieur ou égal à sept, cela peut être écrit comme l'intervalle quatre à sept avec un crochet ou une parenthèse par les quatre et un crochet carré par les sept.

En tant qu'ensemble de solutions entier, cela peut être écrit comme l'ensemble des nombres cinq, six et sept, car nous ne pouvons pas être égaux à quatre, mais nous pouvons être égaux à sept. Lors de la résolution de l’inéquation, nous devons effectuer l'opération inverse ou réciproque à chaque étape. L'addition et la soustraction sont des opérations inverses, tout comme la multiplication et la division. N'oubliez pas que quoi que vous fassiez d'un côté du signe de l'inégalité, vous devez le faire de l'autre. L'établissement et la résolution des inéquations linéaires peuvent nous aider à résoudre de nombreux problèmes mathématiques réels.