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Vidéo de question : Déterminer des coefficients inconnus dans l’équation de deux droites en trois dimensions sachant qu’elles sont parallèles Mathématiques

Si la droite (𝑥 - 10)/6 = (𝑦 + 6)/8 = (𝑧 + 2)/𝑘 est parallèle à (𝑥 - 1)/−12 = (𝑦 + 3)/𝑚 = (𝑧 + 1)/14, déterminez 𝑘 + 𝑚.

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Transcription de vidéo

Si la droite 𝑥 moins 10 sur six égale 𝑦 plus six sur huit égale 𝑧 plus deux sur 𝑘 est parallèle à la droite 𝑥 moins un sur moins 12 égale 𝑦 plus trois sur 𝑚 égale 𝑧 plus un sur 14, déterminez 𝑘 plus 𝑚.

Cette question nous donne l’équation de deux droites et nous indique que ces deux droites sont parallèles. Et nous devons utiliser ces informations pour déterminer la valeur de 𝑘 plus 𝑚. On remarque tout d’abord que ces droites sont données sous forme cartésienne. Et on rappelle que la forme cartésienne d’une droite est 𝑥 moins 𝑥 zéro sur 𝑎 égale 𝑦 moins 𝑦 zéro sur 𝑏 égale 𝑧 moins 𝑧 zéro sur 𝑐. Et c’est une forme très utile pour représenter une droite parce que nous pouvons en déduire quelques informations sur la droite.

Tout d’abord, on voit que si on substitue 𝑥 égale 𝑥 zéro, 𝑦 égale 𝑦 zéro, et 𝑧 égale 𝑧 zéro dans cette équation, on obtient zéro égale zéro égale zéro. Par conséquent, toute droite exprimée sous cette forme passe par le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro. Mais nous pouvons obtenir une autre information utile à partir de la forme cartésienne de l’équation d’une droite. Un vecteur directeur de cette droite est en effet le vecteur 𝑎, 𝑏, 𝑐. Dans cette question, nous devons utiliser le fait que les deux droites sont parallèles pour déterminer la valeur de 𝑘 plus 𝑚. Nous devons donc pour cela rappeler exactement ce que l’on entend quand on dit que deux droites sont parallèles.

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont des multiples scalaires non nuls l’un de l’autre. Et comme ces deux droites sont parallèles, nous pouvons utiliser cette relation pour calculer ce scalaire. Puisqu’elles sont exprimées sous forme cartésienne, on peut simplement lire leurs vecteurs directeurs dans leurs équation.

Pour la première droite, son vecteur directeur est le vecteur six, huit, 𝑘. Et on peut faire exactement la même chose pour la deuxième droite. Son vecteur directeur est le vecteur moins 12, 𝑚, 14. On rappelle alors que ces droites sont parallèles entre elles donc ces deux vecteurs doivent être des multiples scalaires non nuls l’un de l’autre. En d’autres termes, le vecteur six, huit, 𝑘 doit être égal à 𝑛 fois le vecteur moins 12, 𝑚, 14, où 𝑛 est un scalaire non nul.

Et nous pouvons utiliser cette relation pour calculer la valeur de 𝑛. Nous devons d’abord évaluer la multiplication par un scalaire. On rappelle pour cela qu’il faut multiplier chaque composante du vecteur par 𝑛. En multipliant par 𝑛, on trouve que le vecteur six, huit, 𝑘 est égal au vecteur moins 12𝑛, 𝑚𝑛, 14𝑛. Et rappelez-vous que pour que deux vecteurs soient égaux, ils doivent avoir la même dimension et leurs composantes doivent être égales. Nous pouvons donc utiliser cette définition pour trouver les valeurs de 𝑛, 𝑚 et 𝑘.

Commençons par trouver la valeur de 𝑛 en posant l’égalité des premières composantes de ces deux vecteurs. On obtient alors six égale moins 12𝑛. Bien sûr, on peut calculer 𝑛 en divisant par moins 12. Et on trouve que 𝑛 est égal à moins six sur 12, ce qui se simplifie par 𝑛 égale moins un sur deux. Maintenant que nous connaissons la valeur de 𝑛, nous pouvons la substituer dans les composantes du vecteur.

En faisant un peu de place et en remplaçant 𝑛 par moins un sur deux dans notre équation vectorielle, on obtient que le vecteur six, huit, 𝑘 est égal au vecteur moins 12 fois moins un sur deux, moins 𝑚 sur deux, 14 fois moins un sur deux. Et bien sûr, on peut simplifier cela. Pour la première composante du vecteur de droite, moins 12 fois moins un sur deux égale six. Et pour la troisième composante de ce vecteur, 14 fois moins un sur deux égale moins sept. Nous avons ainsi simplifié le membre droit et obtenu le vecteur six, moins 𝑚 sur deux, moins sept.

Maintenant, puisque ces deux vecteurs sont égaux, toutes leurs composantes doivent être égales. On peut donc poser l’égalité des deuxièmes composantes de ces vecteurs. Cela nous donne huit égale moins 𝑚 sur deux. Que l’on peut bien sûr résoudre en multipliant par moins deux. Et on trouve que 𝑚 est égal à moins deux fois huit, ce qui est bien sûr égal à moins 16. On peut ensuite poser l’égalité des troisièmes composantes de ces vecteurs. Et on voit que 𝑘 doit être égal à moins sept.

Nous avons ainsi trouvé les valeurs de 𝑘 et 𝑚. Mais la question nous demande de calculer 𝑘 plus 𝑚. On additionne donc ces valeurs. 𝑘 plus 𝑚 égale moins sept plus moins 16, ce qui fait moins 23. Nous avons ainsi montré que si la droite 𝑥 moins 10 sur six égale 𝑦 plus six sur huit égale 𝑧 plus deux sur 𝑘 est parallèle à la droite 𝑥 moins un sur moins 12 égale 𝑦 plus trois sur 𝑚 égale 𝑧 plus un sur 14, alors 𝑘 plus 𝑚 doit être égal à moins 23.

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