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Vidéo de la leçon : Inéquations linéaires à deux inconnues Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter graphiquement des inéquations linéaires à deux inconnues.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter graphiquement des inéquations linéaires à deux inconnues. Vous devez maîtriser les quatre inéquations différentes. Nous avons strictement supérieur à, supérieur à, strictement inférieur à ou inférieur à.

Commençons par un résumé de la représentation graphique d’une inéquation à une variable ou à une seule inconnue. On peut prendre l’exemple de 𝑦 est strictement supérieur à deux. Si nous démontrions cela sur une droite numérique, nous aurions un cercle creux au-dessus de deux et une flèche pointant vers la droite pour indiquer toutes les valeurs strictement supérieures à deux. Le fait que ce cercle sur une droite numérique soit creux ou vide est vraiment important. S’il était coloré ou rempli, cela indiquerait l’inéquation « supérieur à » dans ce contexte. Lorsque l’inéquation est une inéquation stricte, comme « strictement supérieure à » ou « strictement inférieure à », alors nous ne remplissons pas le cercle.

Nous devons également tenir compte de cela lorsque nous représentons graphiquement les inéquations. Quand il s’agit de représenter une inéquation sur un graphique, nous commençons par remplacer temporairement l’inéquation par un signe égal. Nous commençons donc par considérer que 𝑦 est égal à deux. Cela peut être montré sur le graphique par le point où 𝑦 est égal à deux. Mais avant de tracer la droite représentant 𝑦 est égal à deux, nous devons considérer l’inéquation. Puisque cette inéquation 𝑦 strictement supérieure à deux est une inéquation stricte, la droite que nous traçons sera une ligne en tirets ou en pointillés.

Puis, enfin, nous devrons représenter la région où 𝑦 est strictement supérieur à deux. Si nous considérons un point ou une coordonnée au-dessous de la droite, disons cette coordonnée zéro, un, alors pour ce point, la valeur 𝑦 est un. Mais nous savons que le nombre un est strictement inférieur à deux. Donc, ce ne serait pas dans la région où 𝑦 est strictement supérieur à deux. En prenant une autre coordonnée, cette fois la coordonnée un, quatre qui est au-dessus de la droite, la valeur 𝑦 en ce point vaut quatre. Quatre est plus grand que deux. Donc, cela fait partie de la région où 𝑦 est strictement supérieur à deux, nous pouvons donc représenter 𝑦 est strictement supérieur à deux en colorant la région que nous souhaitons. Mais il faut être prudent, parfois lors des examens, on nous demande de colorer la région que nous voulons et parfois on nous demande de colorer la région que nous ne voulons pas. Il faut donc toujours faire attention lors de la lecture de l’énoncé.

La représentation graphique des inéquations linéaires à deux inconnues peut être effectuée en utilisant exactement la même démarche. La ligne en pointillés représente les inéquations strictes, soit strictement supérieur à ou strictement inférieur à. Mais la ligne totalement complète représente les inéquations faibles : supérieur à ou inférieur à. La différence est qu’au lieu d’avoir une seule inconnue de 𝑥 ou 𝑦, nous aurons des équations données sous les différentes formes de l’équation d’une droite, par exemple, 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 est égal à 𝑐 ou 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏. Puisque il s’agit de représentation graphique des équations comme celle-ci, alors nous devrions être sûrs de trouver l’équation d’une droite à partir de son graphique. Nous pouvons maintenant regarder le premier exemple. Dans cet exemple, nous allons identifier la notation correcte pour une inéquation qui a été représentée sur un graphique.

Considérez les inéquations illustrées par les figures 1 et 2. Lequel des choix suivants est correct ? Option (A) La figure 1 montre que 𝑦 est strictement supérieur à 𝑥 ; la figure 2 montre que 𝑦 est supérieur à 𝑥. Ou option (B) La figure 1 montre que 𝑦 est supérieur à 𝑥 ; la figure 2 montre que 𝑦 est strictement supérieur à 𝑥.

La première chose que nous devons faire lorsque nous identifions une inéquation représentée graphiquement est de déterminer l’équation de la droite, que cette droite soit en pointillés ou complète. Les deux droites données sur la figure 1 et la figure 2 représenteraient la même équation. Sur les deux graphiques, nous pouvons identifier les coordonnées un, un ; deux, deux ; trois, trois et ainsi de suite. Comme chaque valeur 𝑦 est égale à la valeur 𝑥, alors l’équation de l’une ou l’autre de ces droites peut être donnée comme étant 𝑦 égale 𝑥. Nous remarquons que dans les deux graphiques, c’est-à-dire dans les deux figures, la région au-dessus de la droite a été ombrée. La différence est que sur la figure 1, nous avons une droite en pointillés et sur la figure 2, nous avons une droite complète.

Les droites en pointillés indiquent une inéquation stricte, elles seront donc strictement supérieures à ou strictement inférieures à, alors que les lignes complètes représentent des inéquations faibles. Ainsi, soit supérieur à, soit inférieur à. Donc, la figure 1 représentera 𝑦 est strictement supérieur à 𝑥 ou 𝑦 est strictement inférieur à 𝑥. La figure 2 représentera 𝑦 est supérieur à 𝑥 ou 𝑦 est inférieur à 𝑥. Prenons la figure 1 et choisissons une coordonnée qui se trouve dans la région ombrée. Choisissons alors la coordonnée zéro, quatre. La valeur y est quatre et la valeur 𝑥 est zéro. L’inéquation que nous utiliserions entre quatre et zéro est quatre est strictement supérieur à zéro. Comme cette coordonnée est dans la région ombrée, la région doit être représentative de 𝑦 est strictement supérieur à 𝑥.

De même, nous pourrions choisir la même coordonnée sur la figure 2 : la coordonnée zéro, quatre. Nous savons que quatre est strictement supérieur à zéro, mais cette fois, nous savons que cela doit être une faible inéquation : quatre est supérieur à zéro. Ce graphique représente l’inéquation 𝑦 est supérieur à 𝑥. Nous pouvons donc indiquer que l’affirmation de l’option (A) est correcte. La figure 1 montre que 𝑦 est strictement supérieur à 𝑥 ; la figure 2 montre que 𝑦 est supérieur à 𝑥.

Regardons un autre exemple.

Quelle est l’inéquation représentée graphiquement sur la figure donnée ?

Lorsque nous avons une inéquation représentée sur un graphique, nous aurons toujours une droite, qu’il s’agisse d’une ligne complète ou d’une ligne en pointillés, ainsi qu’une région ombrée. La première chose que nous devrons faire est d’identifier l’équation de la droite. Nous pouvons nous rappeler que l’équation d’une droite peut être donnée comme 𝑦 égale à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 représente le coefficient directeur ou la pente et 𝑏 est l’ordonnée à l’origine y. L’ordonnée à l’origine y est généralement très facilement identifiée sur le graphique. C’est le point où la droite coupe l’axe des 𝑦. Sur ce graphique, cela a lieu aux coordonnées zéro, moins trois. Ainsi, l’ordonnée à l’origine 𝑦 est égale à moins trois. Le coefficient directeur d’une droite peut être obtenu en calculant la variation des ordonnées sur la variation des abscisses. Nous pouvons calculer cela en utilisant deux coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux sachant que le coefficient directeur est égal à 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un.

Pour nous faciliter la tâche, nous devons sélectionner des coordonnées facilement identifiables. En général, celles-ci auront des valeurs entières. Nous pouvons voir que les coordonnées zéro, moins trois appartiennent à la droite, de même que les coordonnées un, un. Peu importe les coordonnées que nous désignons avec les valeurs 𝑥 un, 𝑦 un ou 𝑥 deux, 𝑦 deux. Alors prenons 𝑥 un, 𝑦 un pour les coordonnées zéro, moins trois. Le coefficient directeur sera donc égal à un moins moins trois sur un moins zéro. Cela se simplifie à quatre sur un, ce qui est bien sûr égal à quatre. Puisque nous savons que le coefficient directeur 𝑚 est quatre et que l’ordonnée à l’origine 𝑦 est moins trois, nous avons l’équation de la droite comme suit : y égale quatre 𝑥 moins trois.

Cependant, ce n’est pas la réponse finale car on nous demande d’écrire l’inéquation représentée par la région ombrée. Au lieu du signe égal, nous aurons besoin d’une des inéquations, strictement supérieur à, supérieur à, strictement inférieur à ou inférieur à. Alors, comment savoir laquelle de ces inéquations choisissons-nous ? Bien, nous pouvons remarquer que la droite qui nous a été donnée est une droite en pointillés. Cela signifie qu’il s’agit d’une inéquation stricte. Nous aurons soit strictement supérieur à, soit strictement inférieur à. Les deux autres inéquations qui impliquent « ou égal à » ne seront pas appropriées.

Nous pouvons maintenant tester de quelle inéquation il s'agira en sélectionnant une coordonnée dans la région ombrée, qui ne se trouve pas sur la droite. Choisissons la coordonnée trois, deux. À ces coordonnées, la valeur 𝑥 est trois et la valeur 𝑦 est deux. Nous devrons donc comparer la valeur de 𝑦, qui est deux, avec la valeur de quatre 𝑥 moins trois, ce qui est quatre fois trois moins trois. Lorsque nous simplifions le membre de droite, nous obtenons neuf. Nous savons bien sûr que deux est strictement inférieur à neuf. Par conséquent, l’inéquation manquante doit être strictement inférieure à. La réponse est donc que l’inéquation qui a été représentée graphiquement est 𝑦 est strictement inférieure à quatre 𝑥 moins trois.

Il convient de souligner que tout ce qui ne se trouve ni dans la région ombrée, ni sur la droite représente l’inéquation 𝑦 est strictement supérieur à quatre 𝑥 moins trois. Si nous vérifions cela en utilisant une coordonnée, par exemple, la coordonnée zéro, zéro, en plaçant cela dans l’inéquation, nous aurions 𝑦 égale zéro et 𝑥 égale zéro. Sur le membre de gauche de l’inéquation, nous aurions zéro. Sur le membre de droite, nous aurions moins trois. Puisque cette région est 𝑦 est strictement supérieur à quatre 𝑥 moins trois, alors la région qui est ombrée correspond à 𝑦 est strictement inférieur à quatre 𝑥 moins trois.

Nous pouvons maintenant regarder un dernier exemple.

Déterminez l’inéquation dont l’ensemble solution est représenté par la région colorée.

L’ensemble solution d’une inéquation est l’ensemble de tous les points qui vérifient cette inéquation. Sur cette figure, cela correspond à tous les points de la région colorée ou ombrée. La première chose que nous allons faire est d’identifier l’équation de cette droite, qui est la droite frontière entre la région colorée et la région non colorée. Nous utilisons parfois l’équation d’une droite sous la forme 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏 pour nous aider à faire cela. Cependant, il y a parfois des graphiques qui ne sont pas faciles à lire, celui-ci en fait partie. L’ordonnée à l’origine 𝑦, le point où la droite coupe l’axe des 𝑦, n’est pas particulièrement claire. Cela pourrait être moins 1,5, mais on ne peut pas le dire avec certitude.

Dans de tels cas, il peut être utile de rappeler l’équation obtenue à partir d’un point et du coefficient directeur de la droite donnée par 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un, où les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un représentent un point sur la droite. La valeur de 𝑚 indique le coefficient directeur de la droite. Calculons d’abord le coefficient directeur. Voici comment faire pour calculer le coefficient directeur entre deux coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. Nous calculons 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Lorsque nous sélectionnons deux coordonnées à utiliser pour cette formule, il est utile de trouver des coordonnées avec des valeurs entières. Faites attention à ce graphique, car les principales lignes du quadrillage représentent un intervalle de deux sur les axes des 𝑥 et 𝑦. Mais les petites lignes représentent un intervalle de un demi.

Une coordonnée que nous pourrions sélectionner est la coordonnée moins trois, moins six. Une autre coordonnée est un, zéro. Nous pouvons sélectionner les coordonnées un, zéro pour avoir les valeurs 𝑥 un, 𝑦 un et les coordonnées moins trois, moins six pour les valeurs 𝑥 deux et 𝑦 deux. Le coefficient directeur de cette droite peut donc être calculé comme étant moins six moins zéro sur moins trois moins un. Lorsque nous simplifions cela, nous obtenons moins six sur moins quatre, ce qui peut être simplifié à trois sur deux. Le coefficient directeur de la droite 𝑚 est égal à trois sur deux.

Nous pouvons remplacer cette valeur dans l’équation d’une droite obtenue à partir d’un point et du coefficient directeur d’une droite, cette équation sera vérifiée par toutes les coordonnées sur la droite. Nous pouvons utiliser les mêmes coordonnées de un, zéro dans cette équation. Cela nous donnera 𝑦 moins zéro est égal à trois sur deux fois 𝑥 moins un. Si nous voulions simplifier davantage cette équation, nous pouvons multiplier les deux membres de l’équation par deux. Cela nous donne deux 𝑦 égale trois fois 𝑥 moins un. Ensuite, la distribution des parenthèses sur le membre de droite nous donnerait deux 𝑦 égale trois 𝑥 moins trois.

Chacune de ces trois équations serait une équation valide de la droite. Cependant, nous devons également identifier l’inéquation représentée par la région ombrée. Libérons de l’espace et travaillons avec cette équation : deux 𝑦 égale trois 𝑥 moins trois. Puisque nous avons une inéquation, cela signifie qu’au lieu d’un signe égal, nous aurons l’un des éléments suivants : strictement supérieur à, strictement inférieur à, supérieur à, ou inférieur à. Nous rappelons donc que nous devons vérifier si cette droite frontière, la droite de l’équation, est en pointillés ou une droite complète. Puisque la droite ici est une ligne en pointillés, cela signifie que nous aurons une inéquation stricte. Elle sera supérieure à ou inférieure à, mais pas une inéquation qui implique « égal à ».

Afin d'identifier laquelle de ces deux inéquations il s'agira, nous pouvons vérifier une coordonnée qui se situe dans la région représentée. Nous pourrions choisir n’importe quelle coordonnée de la région, mais choisissons une coordonnée facile et appropriée. La coordonnée zéro, zéro se situe dans la région ombrée. Rappelez-vous que cela signifie que la valeur 𝑥 est zéro et que la valeur 𝑦 est zéro. Remplaçons donc ces valeurs. Cela signifie que nous comparerons deux fois zéro avec trois fois zéro moins trois. Lorsque nous simplifions cela, nous comparons zéro et moins trois. Quelle inéquation choisirions-nous ici ? Bien, zéro est strictement supérieur à moins trois. Cela signifie que la région doit être deux 𝑦 est strictement supérieur à trois 𝑥 moins trois.

Nous pouvons noter qu’il existe différentes façons de représenter cette inéquation. Par exemple, nous aurions pu soustraire trois 𝑥 des deux membres de cette inéquation. Sit, nous aurions pu rassembler les trois termes d’un côté de l’inéquation. Toute autre forme est acceptable, à condition que nous effectuions les étapes correctement lors du réarrangement de l’inéquation. Nous pouvons donc donner ici la réponse que l’inéquation représentée par la région colorée est deux 𝑦 moins trois 𝑥 est strictement supérieur à moins trois.

Nous pouvons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Tout d’abord, nous avons vu que les solutions des inéquations linéaires à deux inconnues peuvent être représentées à l’aide de graphiques. Ensuite, pour déterminer l’inéquation représentée graphiquement, nous déterminons d’abord l’équation de la droite frontière en utilisant soit l’équation obtenue à partir d’un point et du coefficient directeur, soit la forme réduite de l’équation d’une droite. Les droites frontières des inéquations strictes sont des lignes en tirets ou en pointillés. Les faibles inéquations sont représentées par des lignes continues. Enfin, pour déterminer le signe de l’inéquation, nous considérons les coordonnées d’un point de la région ombrée. En substituant ces coordonnées dans chaque membre de l’équation de la droite, nous pouvons déterminer quel membre a la plus grande valeur et donc le signe d’inéquation dont nous avons besoin.

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