Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter graphiquement des inéquations linéaires à deux inconnues. Vous devez maßtriser les quatre inéquations différentes. Nous avons strictement supérieur à , supérieur à , strictement inférieur à ou inférieur à .
Commençons par un rĂ©sumĂ© de la reprĂ©sentation graphique dâune inĂ©quation Ă une variable ou Ă une seule inconnue. On peut prendre lâexemple de đŠ est strictement supĂ©rieur Ă deux. Si nous dĂ©montrions cela sur une droite numĂ©rique, nous aurions un cercle creux au-dessus de deux et une flĂšche pointant vers la droite pour indiquer toutes les valeurs strictement supĂ©rieures Ă deux. Le fait que ce cercle sur une droite numĂ©rique soit creux ou vide est vraiment important. Sâil Ă©tait colorĂ© ou rempli, cela indiquerait lâinĂ©quation « supĂ©rieur à  » dans ce contexte. Lorsque lâinĂ©quation est une inĂ©quation stricte, comme « strictement supĂ©rieure à  » ou « strictement infĂ©rieure à  », alors nous ne remplissons pas le cercle.
Nous devons Ă©galement tenir compte de cela lorsque nous reprĂ©sentons graphiquement les inĂ©quations. Quand il sâagit de reprĂ©senter une inĂ©quation sur un graphique, nous commençons par remplacer temporairement lâinĂ©quation par un signe Ă©gal. Nous commençons donc par considĂ©rer que đŠ est Ă©gal Ă deux. Cela peut ĂȘtre montrĂ© sur le graphique par le point oĂč đŠ est Ă©gal Ă deux. Mais avant de tracer la droite reprĂ©sentant đŠ est Ă©gal Ă deux, nous devons considĂ©rer lâinĂ©quation. Puisque cette inĂ©quation đŠ strictement supĂ©rieure Ă deux est une inĂ©quation stricte, la droite que nous traçons sera une ligne en tirets ou en pointillĂ©s.
Puis, enfin, nous devrons reprĂ©senter la rĂ©gion oĂč đŠ est strictement supĂ©rieur Ă deux. Si nous considĂ©rons un point ou une coordonnĂ©e au-dessous de la droite, disons cette coordonnĂ©e zĂ©ro, un, alors pour ce point, la valeur đŠ est un. Mais nous savons que le nombre un est strictement infĂ©rieur Ă deux. Donc, ce ne serait pas dans la rĂ©gion oĂč đŠ est strictement supĂ©rieur Ă deux. En prenant une autre coordonnĂ©e, cette fois la coordonnĂ©e un, quatre qui est au-dessus de la droite, la valeur đŠ en ce point vaut quatre. Quatre est plus grand que deux. Donc, cela fait partie de la rĂ©gion oĂč đŠ est strictement supĂ©rieur Ă deux, nous pouvons donc reprĂ©senter đŠ est strictement supĂ©rieur Ă deux en colorant la rĂ©gion que nous souhaitons. Mais il faut ĂȘtre prudent, parfois lors des examens, on nous demande de colorer la rĂ©gion que nous voulons et parfois on nous demande de colorer la rĂ©gion que nous ne voulons pas. Il faut donc toujours faire attention lors de la lecture de lâĂ©noncĂ©.
La reprĂ©sentation graphique des inĂ©quations linĂ©aires Ă deux inconnues peut ĂȘtre effectuĂ©e en utilisant exactement la mĂȘme dĂ©marche. La ligne en pointillĂ©s reprĂ©sente les inĂ©quations strictes, soit strictement supĂ©rieur Ă ou strictement infĂ©rieur Ă . Mais la ligne totalement complĂšte reprĂ©sente les inĂ©quations faibles : supĂ©rieur Ă ou infĂ©rieur Ă . La diffĂ©rence est quâau lieu dâavoir une seule inconnue de đ„ ou đŠ, nous aurons des Ă©quations donnĂ©es sous les diffĂ©rentes formes de lâĂ©quation dâune droite, par exemple, đđ„ plus đđŠ est Ă©gal Ă đ ou đŠ est Ă©gal Ă đđ„ plus đ. Puisque il sâagit de reprĂ©sentation graphique des Ă©quations comme celle-ci, alors nous devrions ĂȘtre sĂ»rs de trouver lâĂ©quation dâune droite Ă partir de son graphique. Nous pouvons maintenant regarder le premier exemple. Dans cet exemple, nous allons identifier la notation correcte pour une inĂ©quation qui a Ă©tĂ© reprĂ©sentĂ©e sur un graphique.
ConsidĂ©rez les inĂ©quations illustrĂ©es par les figures 1 et 2. Lequel des choix suivants est correct ? Option (A) La figure 1 montre que đŠ est strictement supĂ©rieur Ă đ„ ; la figure 2 montre que đŠ est supĂ©rieur Ă đ„. Ou option (B) La figure 1 montre que đŠ est supĂ©rieur Ă đ„ ; la figure 2 montre que đŠ est strictement supĂ©rieur Ă đ„.
La premiĂšre chose que nous devons faire lorsque nous identifions une inĂ©quation reprĂ©sentĂ©e graphiquement est de dĂ©terminer lâĂ©quation de la droite, que cette droite soit en pointillĂ©s ou complĂšte. Les deux droites donnĂ©es sur la figure 1 et la figure 2 reprĂ©senteraient la mĂȘme Ă©quation. Sur les deux graphiques, nous pouvons identifier les coordonnĂ©es un, un ; deux, deux ; trois, trois et ainsi de suite. Comme chaque valeur đŠ est Ă©gale Ă la valeur đ„, alors lâĂ©quation de lâune ou lâautre de ces droites peut ĂȘtre donnĂ©e comme Ă©tant đŠ Ă©gale đ„. Nous remarquons que dans les deux graphiques, câest-Ă -dire dans les deux figures, la rĂ©gion au-dessus de la droite a Ă©tĂ© ombrĂ©e. La diffĂ©rence est que sur la figure 1, nous avons une droite en pointillĂ©s et sur la figure 2, nous avons une droite complĂšte.
Les droites en pointillĂ©s indiquent une inĂ©quation stricte, elles seront donc strictement supĂ©rieures Ă ou strictement infĂ©rieures Ă , alors que les lignes complĂštes reprĂ©sentent des inĂ©quations faibles. Ainsi, soit supĂ©rieur Ă , soit infĂ©rieur Ă . Donc, la figure 1 reprĂ©sentera đŠ est strictement supĂ©rieur Ă đ„ ou đŠ est strictement infĂ©rieur Ă đ„. La figure 2 reprĂ©sentera đŠ est supĂ©rieur Ă đ„ ou đŠ est infĂ©rieur Ă đ„. Prenons la figure 1 et choisissons une coordonnĂ©e qui se trouve dans la rĂ©gion ombrĂ©e. Choisissons alors la coordonnĂ©e zĂ©ro, quatre. La valeur y est quatre et la valeur đ„ est zĂ©ro. LâinĂ©quation que nous utiliserions entre quatre et zĂ©ro est quatre est strictement supĂ©rieur Ă zĂ©ro. Comme cette coordonnĂ©e est dans la rĂ©gion ombrĂ©e, la rĂ©gion doit ĂȘtre reprĂ©sentative de đŠ est strictement supĂ©rieur Ă đ„.
De mĂȘme, nous pourrions choisir la mĂȘme coordonnĂ©e sur la figure 2 : la coordonnĂ©e zĂ©ro, quatre. Nous savons que quatre est strictement supĂ©rieur Ă zĂ©ro, mais cette fois, nous savons que cela doit ĂȘtre une faible inĂ©quation : quatre est supĂ©rieur Ă zĂ©ro. Ce graphique reprĂ©sente lâinĂ©quation đŠ est supĂ©rieur Ă đ„. Nous pouvons donc indiquer que lâaffirmation de lâoption (A) est correcte. La figure 1 montre que đŠ est strictement supĂ©rieur Ă đ„ ; la figure 2 montre que đŠ est supĂ©rieur Ă đ„.
Regardons un autre exemple.
Quelle est lâinĂ©quation reprĂ©sentĂ©e graphiquement sur la figure donnĂ©e ?
Lorsque nous avons une inĂ©quation reprĂ©sentĂ©e sur un graphique, nous aurons toujours une droite, quâil sâagisse dâune ligne complĂšte ou dâune ligne en pointillĂ©s, ainsi quâune rĂ©gion ombrĂ©e. La premiĂšre chose que nous devrons faire est dâidentifier lâĂ©quation de la droite. Nous pouvons nous rappeler que lâĂ©quation dâune droite peut ĂȘtre donnĂ©e comme đŠ Ă©gale Ă đđ„ plus đ, oĂč đ reprĂ©sente le coefficient directeur ou la pente et đ est lâordonnĂ©e Ă lâorigine y. LâordonnĂ©e Ă lâorigine y est gĂ©nĂ©ralement trĂšs facilement identifiĂ©e sur le graphique. Câest le point oĂč la droite coupe lâaxe des đŠ. Sur ce graphique, cela a lieu aux coordonnĂ©es zĂ©ro, moins trois. Ainsi, lâordonnĂ©e Ă lâorigine đŠ est Ă©gale Ă moins trois. Le coefficient directeur dâune droite peut ĂȘtre obtenu en calculant la variation des ordonnĂ©es sur la variation des abscisses. Nous pouvons calculer cela en utilisant deux coordonnĂ©es đ„ un, đŠ un et đ„ deux, đŠ deux sachant que le coefficient directeur est Ă©gal Ă đŠ deux moins đŠ un sur đ„ deux moins đ„ un.
Pour nous faciliter la tĂąche, nous devons sĂ©lectionner des coordonnĂ©es facilement identifiables. En gĂ©nĂ©ral, celles-ci auront des valeurs entiĂšres. Nous pouvons voir que les coordonnĂ©es zĂ©ro, moins trois appartiennent Ă la droite, de mĂȘme que les coordonnĂ©es un, un. Peu importe les coordonnĂ©es que nous dĂ©signons avec les valeurs đ„ un, đŠ un ou đ„ deux, đŠ deux. Alors prenons đ„ un, đŠ un pour les coordonnĂ©es zĂ©ro, moins trois. Le coefficient directeur sera donc Ă©gal Ă un moins moins trois sur un moins zĂ©ro. Cela se simplifie Ă quatre sur un, ce qui est bien sĂ»r Ă©gal Ă quatre. Puisque nous savons que le coefficient directeur đ est quatre et que lâordonnĂ©e Ă lâorigine đŠ est moins trois, nous avons lâĂ©quation de la droite comme suit : y Ă©gale quatre đ„ moins trois.
Cependant, ce nâest pas la rĂ©ponse finale car on nous demande dâĂ©crire lâinĂ©quation reprĂ©sentĂ©e par la rĂ©gion ombrĂ©e. Au lieu du signe Ă©gal, nous aurons besoin dâune des inĂ©quations, strictement supĂ©rieur Ă , supĂ©rieur Ă , strictement infĂ©rieur Ă ou infĂ©rieur Ă . Alors, comment savoir laquelle de ces inĂ©quations choisissons-nous ? Bien, nous pouvons remarquer que la droite qui nous a Ă©tĂ© donnĂ©e est une droite en pointillĂ©s. Cela signifie quâil sâagit dâune inĂ©quation stricte. Nous aurons soit strictement supĂ©rieur Ă , soit strictement infĂ©rieur Ă . Les deux autres inĂ©quations qui impliquent « ou Ă©gal à  » ne seront pas appropriĂ©es.
Nous pouvons maintenant tester de quelle inĂ©quation il s'agira en sĂ©lectionnant une coordonnĂ©e dans la rĂ©gion ombrĂ©e, qui ne se trouve pas sur la droite. Choisissons la coordonnĂ©e trois, deux. Ă ces coordonnĂ©es, la valeur đ„ est trois et la valeur đŠ est deux. Nous devrons donc comparer la valeur de đŠ, qui est deux, avec la valeur de quatre đ„ moins trois, ce qui est quatre fois trois moins trois. Lorsque nous simplifions le membre de droite, nous obtenons neuf. Nous savons bien sĂ»r que deux est strictement infĂ©rieur Ă neuf. Par consĂ©quent, lâinĂ©quation manquante doit ĂȘtre strictement infĂ©rieure Ă . La rĂ©ponse est donc que lâinĂ©quation qui a Ă©tĂ© reprĂ©sentĂ©e graphiquement est đŠ est strictement infĂ©rieure Ă quatre đ„ moins trois.
Il convient de souligner que tout ce qui ne se trouve ni dans la rĂ©gion ombrĂ©e, ni sur la droite reprĂ©sente lâinĂ©quation đŠ est strictement supĂ©rieur Ă quatre đ„ moins trois. Si nous vĂ©rifions cela en utilisant une coordonnĂ©e, par exemple, la coordonnĂ©e zĂ©ro, zĂ©ro, en plaçant cela dans lâinĂ©quation, nous aurions đŠ Ă©gale zĂ©ro et đ„ Ă©gale zĂ©ro. Sur le membre de gauche de lâinĂ©quation, nous aurions zĂ©ro. Sur le membre de droite, nous aurions moins trois. Puisque cette rĂ©gion est đŠ est strictement supĂ©rieur Ă quatre đ„ moins trois, alors la rĂ©gion qui est ombrĂ©e correspond Ă đŠ est strictement infĂ©rieur Ă quatre đ„ moins trois.
Nous pouvons maintenant regarder un dernier exemple.
DĂ©terminez lâinĂ©quation dont lâensemble solution est reprĂ©sentĂ© par la rĂ©gion colorĂ©e.
Lâensemble solution dâune inĂ©quation est lâensemble de tous les points qui vĂ©rifient cette inĂ©quation. Sur cette figure, cela correspond Ă tous les points de la rĂ©gion colorĂ©e ou ombrĂ©e. La premiĂšre chose que nous allons faire est dâidentifier lâĂ©quation de cette droite, qui est la droite frontiĂšre entre la rĂ©gion colorĂ©e et la rĂ©gion non colorĂ©e. Nous utilisons parfois lâĂ©quation dâune droite sous la forme đŠ est Ă©gal Ă đđ„ plus đ pour nous aider Ă faire cela. Cependant, il y a parfois des graphiques qui ne sont pas faciles Ă lire, celui-ci en fait partie. LâordonnĂ©e Ă lâorigine đŠ, le point oĂč la droite coupe lâaxe des đŠ, nâest pas particuliĂšrement claire. Cela pourrait ĂȘtre moins 1,5, mais on ne peut pas le dire avec certitude.
Dans de tels cas, il peut ĂȘtre utile de rappeler lâĂ©quation obtenue Ă partir dâun point et du coefficient directeur de la droite donnĂ©e par đŠ moins đŠ un est Ă©gal Ă đ fois đ„ moins đ„ un, oĂč les coordonnĂ©es đ„ un, đŠ un reprĂ©sentent un point sur la droite. La valeur de đ indique le coefficient directeur de la droite. Calculons dâabord le coefficient directeur. Voici comment faire pour calculer le coefficient directeur entre deux coordonnĂ©es đ„ un, đŠ un et đ„ deux, đŠ deux. Nous calculons đŠ deux moins đŠ un sur đ„ deux moins đ„ un. Lorsque nous sĂ©lectionnons deux coordonnĂ©es Ă utiliser pour cette formule, il est utile de trouver des coordonnĂ©es avec des valeurs entiĂšres. Faites attention Ă ce graphique, car les principales lignes du quadrillage reprĂ©sentent un intervalle de deux sur les axes des đ„ et đŠ. Mais les petites lignes reprĂ©sentent un intervalle de un demi.
Une coordonnĂ©e que nous pourrions sĂ©lectionner est la coordonnĂ©e moins trois, moins six. Une autre coordonnĂ©e est un, zĂ©ro. Nous pouvons sĂ©lectionner les coordonnĂ©es un, zĂ©ro pour avoir les valeurs đ„ un, đŠ un et les coordonnĂ©es moins trois, moins six pour les valeurs đ„ deux et đŠ deux. Le coefficient directeur de cette droite peut donc ĂȘtre calculĂ© comme Ă©tant moins six moins zĂ©ro sur moins trois moins un. Lorsque nous simplifions cela, nous obtenons moins six sur moins quatre, ce qui peut ĂȘtre simplifiĂ© Ă trois sur deux. Le coefficient directeur de la droite đ est Ă©gal Ă trois sur deux.
Nous pouvons remplacer cette valeur dans lâĂ©quation dâune droite obtenue Ă partir dâun point et du coefficient directeur dâune droite, cette Ă©quation sera vĂ©rifiĂ©e par toutes les coordonnĂ©es sur la droite. Nous pouvons utiliser les mĂȘmes coordonnĂ©es de un, zĂ©ro dans cette Ă©quation. Cela nous donnera đŠ moins zĂ©ro est Ă©gal Ă trois sur deux fois đ„ moins un. Si nous voulions simplifier davantage cette Ă©quation, nous pouvons multiplier les deux membres de lâĂ©quation par deux. Cela nous donne deux đŠ Ă©gale trois fois đ„ moins un. Ensuite, la distribution des parenthĂšses sur le membre de droite nous donnerait deux đŠ Ă©gale trois đ„ moins trois.
Chacune de ces trois Ă©quations serait une Ă©quation valide de la droite. Cependant, nous devons Ă©galement identifier lâinĂ©quation reprĂ©sentĂ©e par la rĂ©gion ombrĂ©e. LibĂ©rons de lâespace et travaillons avec cette Ă©quation : deux đŠ Ă©gale trois đ„ moins trois. Puisque nous avons une inĂ©quation, cela signifie quâau lieu dâun signe Ă©gal, nous aurons lâun des Ă©lĂ©ments suivants : strictement supĂ©rieur Ă , strictement infĂ©rieur Ă , supĂ©rieur Ă , ou infĂ©rieur Ă . Nous rappelons donc que nous devons vĂ©rifier si cette droite frontiĂšre, la droite de lâĂ©quation, est en pointillĂ©s ou une droite complĂšte. Puisque la droite ici est une ligne en pointillĂ©s, cela signifie que nous aurons une inĂ©quation stricte. Elle sera supĂ©rieure Ă ou infĂ©rieure Ă , mais pas une inĂ©quation qui implique « Ă©gal à ».
Afin d'identifier laquelle de ces deux inĂ©quations il s'agira, nous pouvons vĂ©rifier une coordonnĂ©e qui se situe dans la rĂ©gion reprĂ©sentĂ©e. Nous pourrions choisir nâimporte quelle coordonnĂ©e de la rĂ©gion, mais choisissons une coordonnĂ©e facile et appropriĂ©e. La coordonnĂ©e zĂ©ro, zĂ©ro se situe dans la rĂ©gion ombrĂ©e. Rappelez-vous que cela signifie que la valeur đ„ est zĂ©ro et que la valeur đŠ est zĂ©ro. Remplaçons donc ces valeurs. Cela signifie que nous comparerons deux fois zĂ©ro avec trois fois zĂ©ro moins trois. Lorsque nous simplifions cela, nous comparons zĂ©ro et moins trois. Quelle inĂ©quation choisirions-nous ici ? Bien, zĂ©ro est strictement supĂ©rieur Ă moins trois. Cela signifie que la rĂ©gion doit ĂȘtre deux đŠ est strictement supĂ©rieur Ă trois đ„ moins trois.
Nous pouvons noter quâil existe diffĂ©rentes façons de reprĂ©senter cette inĂ©quation. Par exemple, nous aurions pu soustraire trois đ„ des deux membres de cette inĂ©quation. Sit, nous aurions pu rassembler les trois termes dâun cĂŽtĂ© de lâinĂ©quation. Toute autre forme est acceptable, Ă condition que nous effectuions les Ă©tapes correctement lors du rĂ©arrangement de lâinĂ©quation. Nous pouvons donc donner ici la rĂ©ponse que lâinĂ©quation reprĂ©sentĂ©e par la rĂ©gion colorĂ©e est deux đŠ moins trois đ„ est strictement supĂ©rieur Ă moins trois.
Nous pouvons maintenant rĂ©sumer les points clĂ©s de cette vidĂ©o. Tout dâabord, nous avons vu que les solutions des inĂ©quations linĂ©aires Ă deux inconnues peuvent ĂȘtre reprĂ©sentĂ©es Ă lâaide de graphiques. Ensuite, pour dĂ©terminer lâinĂ©quation reprĂ©sentĂ©e graphiquement, nous dĂ©terminons dâabord lâĂ©quation de la droite frontiĂšre en utilisant soit lâĂ©quation obtenue Ă partir dâun point et du coefficient directeur, soit la forme rĂ©duite de lâĂ©quation dâune droite. Les droites frontiĂšres des inĂ©quations strictes sont des lignes en tirets ou en pointillĂ©s. Les faibles inĂ©quations sont reprĂ©sentĂ©es par des lignes continues. Enfin, pour dĂ©terminer le signe de lâinĂ©quation, nous considĂ©rons les coordonnĂ©es dâun point de la rĂ©gion ombrĂ©e. En substituant ces coordonnĂ©es dans chaque membre de lâĂ©quation de la droite, nous pouvons dĂ©terminer quel membre a la plus grande valeur et donc le signe dâinĂ©quation dont nous avons besoin.