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Vidéo de question : Utilisation de la vitesse et de la puissance données d’un moteur pour déterminer la norme de la résistance à une certaine vitesse Mathématiques

La puissance du moteur d'un avion est de 420 ch. Il vole contre une résistance d'air dont l'intensité est proportionnelle au carré de sa vitesse. Sachant que la vitesse maximale de l'avion est de 441 km/h, déterminez l'intensité de la résistance de l'air lorsque sa vitesse est de 294 km/h.

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Transcription de vidéo

La puissance du moteur d'un avion est de 420 chevaux. Il vole contre une résistance d'air dont l'intensité est proportionnelle au carré de sa vitesse. Sachant que la vitesse maximale de l'avion est de 441 kilomètres par heure, déterminez l'intensité de la résistance de l'air lorsque sa vitesse est de 294 kilomètres par heure.

Alors, dans cette question, nous avons un avion avec un moteur dont la puissance est de 420 chevaux. Et nous savons que sa vitesse maximale est de 441 kilomètres par heure. Et pour commencer, nous allons considérer cette vitesse parce que nous allons en fait imaginer que l’avion se déplace réellement à sa vitesse maximale. Et nous avons également une force et cette force est dirigée dans le sens du mouvement de l’avion, c’est donc une force motrice pour l’avion.

Mais ce que nous savons sur cette force, si nous considérons le moment où l’avion se déplace à sa vitesse maximale, c’est que cette force va être égale à la résistance de l’air ou à la force résistive, que j’ai appelée 𝐹 indice R. Et ceci parce qu’il n’y a pas d’accélération. Et cela s’explique par la première loi de Newton, qui dit que tout objet conserve son état de mouvement à moins qu’une force résultante agisse sur lui. Donc, la force résultante doit être égale à zéro et les forces sont donc égales. Alors, ce que nous pouvons faire, c’est utiliser la formule de la puissance, qui dit que la puissance est égale à la force multipliée par la vitesse, pour nous aider à calculer la force et ensuite la résistance de l’air. Mais nous pouvons modifier cette formule. Pour obtenir que la force est égale à la puissance sur la vitesse.

Alors, on peut se dire « c’est parfait ! Il nous reste juste à remplacer par nos valeurs, comme nous avons la puissance et la vitesse maximale. » Mais non, car cela nous donnerait une force en chevaux-vapeur par kilomètre par heure, ce qui n’est pas l’unité que nous voulons. Donc, tout d’abord, ce que nous devons faire, c’est convertir les unités en unités SI. Donc, si nous regardons d’abord la puissance, nous savons qu’un cheval-vapeur métrique est égal à 735 watts. Donc, la puissance est égale à 420 multiplié par 735 watts, ce qui va nous donner 308 700 watts.

Et ensuite, pour la vitesse, le facteur de conversion est qu’un kilomètre par heure est égal à un sur 3,6 mètres par seconde. Donc, donc, la vitesse va être égale à 441 fois un sur 3,6 mètres par seconde, ce qui équivaut à 441 divisé par 3,6 mètres par seconde, qui est égale à 122,5 mètres par seconde. Alors, c’est parfait. Nous avons donc maintenant la puissance et la vitesse avec les bonnes unités. Utilisons donc notre formule pour déterminer la force.

Alors, la force est égale à la puissance sur la vitesse. Ce qui nous donne donc 308 700 sur 122,5. Ce qui est égal à 2 520 et les unités ici sont des newtons. Parfait. Nous avons donc trouvé la force correspondante à la vitesse maximale de l’avion. Mais, qu’est-ce que nous allons faire maintenant ? Alors, ce que nous voulons faire maintenant, c’est déterminer la norme de la résistance de l’air lorsque la vitesse est de 294 kilomètres par heure. Mais comment faire ça ? Faisons un peu de place et regardons la deuxième partie de la question.

Alors, rappelons-nous que nous avons dit que la résistance de l’air allait être égale à la force associée, rappelons-le, à la vitesse maximale. Donc, nous pouvons dire que la résistance de l’air est égale à 2 520 newtons à 122,5 mètres par seconde. Et ceci parce que c’est la valeur de la vitesse après conversion en mètres par seconde. Alors, qu’est-ce que nous allons faire maintenant ? Comme nous l’avons dit, nous cherchons à déterminer la norme de la résistance de l’air lorsque la vitesse est de 294 kilomètres par heure. Donc, ceci devient en fait un problème de proportionnalité. Et ceci parce qu’on nous dit dans l’énoncé que la norme de la résistance de l’air est proportionnelle au carré de la vitesse.

Nous pouvons donc écrire une équation. Qui dit que 𝐹 indice R est égal à 𝑘𝑣 carré. Nous avons donc ici notre 𝑣 au carré. C’est la vitesse au carré. Et nous avons la résistance de l’air. Mais nous avons également introduit 𝑘, mais qu’est-ce que c’est ? En fait, rappelons-nous, il s’agit du coefficient de proportionnalité. Et ce que nous voulons faire, c’est déterminer sa valeur pour pouvoir ensuite déterminer la norme de la résistance de l’air lorsque la vitesse est de 294 kilomètres par heure. Mais comment faire cela ? Nous pouvons le faire parce que nous avons deux informations que nous pouvons utiliser dans cette formule. Car nous savons que 2 520, qui est la résistance de l’air, est égal à 𝑘 multiplié par la vitesse au carré, 122,5 au carré. Donc, en réorganisant tout cela, nous pouvons déterminer le coefficient de proportionnalité en écrivant 𝑘 égal à 2 520 sur 122,5 au carré.

Alors, nous pourrions calculer cette fraction, mais nous allons en fait la laisser sous cette forme juste pour rester précis dans les autres calculs. Alors maintenant, ce que nous pouvons faire, c’est remplacer cela dans la formule pour écrire une nouvelle formule pour la résistance de l’air. Qui dit que la résistance de l’air est égale à 2 520 sur 122,5 au carré multiplié par la vitesse au carré. Alors, on pourrait se dire : « Parfait, remplaçons par nos valeurs maintenant et déterminons la résistance de l’air lorsque la vitesse est de 294 kilomètres par heure. » Mais non, encore une fois, il faut se rappeler qu’il faut d’abord convertir les valeurs en unités SI, donc nous allons utiliser à nouveau l’un des facteurs de conversion. Il s’agit maintenant de un kilomètre par heure étant égal à un sur 3,6 mètres par seconde.

Donc, donc, la vitesse est égale à 294 multipliée par un sur 3,6 mètres par seconde, ce qui est égal à 81 et deux tiers mètres par seconde. Et nous gardons ce résultat sous forme de fraction juste pour maintenir la précision. Donc, la résistance à l’air sera égale à 2 520 sur 122,5 carrés multipliés par 81 et deux tiers au carré. Et cela nous donne un résultat final pour la norme de la résistance de l’air lorsque la vitesse est de 294 kilomètres à l’heure, qui vaut 1 120 newtons.

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