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Vidéo de question : Utiliser la loi des sinus pour déterminer les longueurs de côtés et les angles d’un triangle à partir de deux angles et d’une longueur de côté Mathématiques

𝐴𝐵𝐶 est un triangle où 𝑚∠𝐴 = 40°, 𝑎 = 17 cm et 𝑏 = 23 cm. Si le triangle existe, déterminez toutes les valeurs possibles pour les autres longueurs et angles en donnant les longueurs au centième près et les mesures d'angles à la seconde d'arc près.

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Transcription de vidéo

𝐴𝐵𝐶 est un triangle où la mesure de l’angle 𝐴 est égale à 40 degrés, petit 𝑎 est égal à 17 centimètres et petit 𝑏 est égal à 23 centimètres. Si le triangle existe, déterminez toutes les valeurs possibles pour les autres longueurs et angles en donnant les longueurs au centième près et les mesures d'angles à la seconde d'arc près.

On rappelle que pour calculer des longueurs et des angles inconnus dans un triangle, on peut utiliser la loi des sinus. Elle stipule que petit 𝑎 sur le sinus de l’angle 𝐴 est égal à petit 𝑏 sur le sinus de l’angle 𝐵 qui est égal à petit 𝑐 sur le sinus de l’angle 𝐶 où petit 𝑎, petit 𝑏 et petit 𝑐 sont les longueurs de côté respectivement opposées aux sommets 𝐴, 𝐵, et 𝐶.

La question nous indique que la mesure de l’angle 𝐴 est de 40 degrés, que la longueur de côté petit 𝑎 est de 17 centimètres et que la longueur de côté petit 𝑏 est de 23 centimètres. Nous allons donc commencer par substituer ces valeurs dans la formule pour nous aider à calculer la mesure de l’angle 𝐵. Cela nous donne 17 sur sin de 40 degrés égale 23 sur sin de l’angle 𝐵. En effectuant un produit en croix, on obtient 17 fois sin de l’angle 𝐵 égale 23 fois sin de 40 degrés. On peut alors diviser les deux membres de cette équation par 17.

Enfin, on applique la réciproque du sinus aux deux membres de cette équation et on trouve que la mesure de l’angle 𝐵 est égale à sin moins un de 23 fois sin de 40 degrés sur 17. En tapant le membre droit sur une calculatrice, on obtient 60,4184 et ainsi de suite. Il s’agit de la réponse en degrés, mais nous devons exprimer cette mesure à la seconde près. En utilisant le bouton degrés-minutes-secondes d’une calculatrice scientifique, on trouve qu’elle est équivalente à 60 degrés, 25 minutes et six secondes. Une mesure possible de l’angle 𝐵 est donc 60 degrés, 25 minutes et six secondes.

Nous savons alors que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Cela signifie que la somme des mesures des angles 𝐴, 𝐵 et 𝐶 doit être égale à 180. En substituant les mesures des angles 𝐴 et 𝐵, on a 40 degrés plus 60 degrés, 25 minutes et six secondes plus la mesure de l’angle 𝐶 égale 180 degrés. On peut additionner les mesures de 𝐴 et 𝐵 puis soustraire 100 degrés, 25 minutes et six secondes aux deux membres. On trouve alors que l’angle 𝐶 mesure 79 degrés, 34 minutes et 54 secondes. Lorsque la mesure de l’angle 𝐵 est de 60 degrés, 25 minutes et six secondes, la mesure de l’angle 𝐶 est de 79 degrés, 34 minutes et 54 secondes.

Notre prochaine étape consiste à utiliser à nouveau la loi des sinus pour calculer la longueur de côté petit 𝑐. En substituant les valeurs trouvées, on a 17 sur sin de 40 degrés égale 𝑐 sur sin de 79 degrés, 34 minutes et 54 secondes. Cela signifie que 𝑐 est égal à 17 sur sin de 40 degrés fois sin de 79 degrés, 34 minutes et 54 secondes. En tapant le membre droit sur une calculatrice, on obtient 26,0112. Au centième près, la longueur de côté petit 𝑐 est donc égale à 26,01 centimètres.

À ce stade, il semblerait que nous ayons répondu à la question puisque nous avons calculé la mesure des deux angles et la longueur de côté manquants. Mais pour des problèmes de ce type, nous devons nous rappeler du diagramme CEST. Il nous indique qu’il y a deux valeurs possibles de 𝜃 pour lesquelles la valeur de sinus 𝜃 est la même. En plus de la réponse de 60 degrés, 25 minutes et six secondes pour l’angle 𝐵, nous pouvons également soustraire cette valeur à 180 degrés. Cela nous donne 119 degrés, 34 minutes et 54 secondes. Cela signifie qu’une autre mesure possible de l’angle 𝐵 est 119 degrés, 34 minutes et 54 secondes.

Et encore une fois, la somme de nos mesures d’angles doit être égale à 180 degrés. Nous savons que l’angle 𝐴 mesure 40 degrés, donc 40 degrés plus 119 degrés, 34 minutes et 54 secondes plus la mesure de l’angle 𝐶 doit être égal à 180 degrés. On peut alors soustraire 159 degrés, 34 minutes et 54 secondes aux deux membres de cette équation pour calculer la mesure de l’angle 𝐶. Elle est égale à 20 degrés, 25 minutes et six secondes. C’est la mesure de cet angle lorsque l’angle 𝐵 mesure 119 degrés, 34 minutes et 54 secondes.

Nous pouvons maintenant utiliser à nouveau la loi des sinus pour calculer la deuxième valeur possible de la longueur de côté petit 𝑐. En substituant les mesures des angles 𝐴 et 𝐶 ainsi que la longueur de côté petit 𝑎, on obtient 17 sur sin de 40 degrés égale petit 𝑐 sur sin de 20 degrés, 25 minutes et six secondes. Cela nous donne une valeur de 𝑐 égale à 9,2267. Au centième près, la longueur de côté petit 𝑐 est donc égale à 9,23 centimètres.

Par conséquent, lorsque la mesure de l’angle 𝐴 est de 40 degrés, que la longueur de côté petit 𝑎 est de 17 centimètres et que la longueur de côté petit 𝑏 est de 23 centimètres, il y a deux ensemble de valeurs possibles pour la mesure de l’angle 𝐵, celle de l’angle 𝐶 et la longueur de côté petit 𝑐. Le premier ensemble est 60 degrés, 25 minutes et six secondes ; 79 degrés, 34 minutes et 54 secondes et 26,01 centimètres. Et le deuxième est 119 degrés, 34 minutes et 54 secondes ; 20 degrés, 25 minutes et six secondes et 9,23 centimètres.

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