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Vidéo de question : Identités pour les puissances de cosinus Mathématiques

Exprimez cos⁶ 𝜃 en fonction de cos 6𝜃, cos 5𝜃, cos 4𝜃, cos 3𝜃, cos 2𝜃, cos 𝜃 et une constante.

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Transcription de vidéo

Exprimez cosinus à la puissance six 𝜃 en fonction de cosinus six 𝜃, cosinus cinq 𝜃, cosinus quatre 𝜃, cosinus trois 𝜃, cosinus deux 𝜃, cosinus 𝜃 et une constante.

Dans cette question, nous voulons trouver une expression pour le cosinus à la puissance six de 𝜃. Et cette expression doit être composée de termes qui impliquent uniquement le cosinus de valeurs entières multiples de 𝜃 et des termes constants. Dans certaines questions comme celle-ci, il est possible de trouver des expressions pour chacune de ces identités trigonométriques pour le cosinus puis d’obtenir notre réponse égale à ce que nous voulons, dans ce cas cosinus à la puissance six 𝜃. Cependant, pour ce faire, nous devrions le faire pour chacune des identités trigonométriques de la question. Ainsi, bien que cette méthode soit possible, elle prendrait beaucoup de temps, et nécessiterait beaucoup d’essais et d’erreurs.

Au lieu de cela, nous allons devoir rappeler que nous pouvons trouver des expressions comme celle-ci en utilisant le théorème de De Moivre. Donc pour répondre à cette question, nous allons commencer par rappeler le théorème de De Moivre. Une version de ce théorème énonce que, pour toute valeur entière de 𝑛 et tout nombre réel 𝜃, le cosinus de 𝜃 plus 𝑖 sinus de 𝜃 tous élevés à la puissance 𝑛 est égal au cosinus de 𝑛𝜃 plus 𝑖 sinus de 𝑛𝜃. Cependant, si nous essayions d’utiliser directement cette expression pour répondre à notre question, nous pourrions avoir du mal à le faire. Puisque nous voulons trouver une expression pour cosinus à la puissance six de 𝜃, nous aurions besoin de poser 𝑛 égal à six pour obtenir cosinus à la puissance six à apparaître dans notre expression. Cependant, lorsque nous distribuons la puissance 𝑛 sur nos parenthèses, nous nous retrouvons avec des termes de cosinus puissance cinq, des termes de cosinus puissance quatre, et ainsi de suite jusqu’à puissance zéro.

Et il semble qu’il serait très difficile de se débarrasser de tous ces termes. Donc au lieu de cela, nous allons devoir rappeler un résultat très utile. Si nous appelons le nombre complexe à l’intérieur de nos parenthèses 𝑧, alors le théorème de De Moivre nous dit, 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal au cos de 𝑛𝜃 plus 𝑖 sin de 𝑛𝜃. Et nous pouvons alors utiliser le théorème de De Moivre pour trouver deux résultats utiles, 𝑧 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à deux cosinus de 𝑛𝜃 et 𝑧 à la puissance 𝑛 moins un sur 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à deux 𝑖 sinus de 𝑛𝜃. Et pour prouver ces résultats, nous utilisons directement le théorème de De Moivre, qui, nous nous souvenons est applicable à toute valeur entière de 𝑛. Et nous savons que un sur 𝑧 à la puissance 𝑛 est le même que 𝑧 à la puissance moins 𝑛.

Ces résultats sont très utiles et méritent d’être mémorisés. Nous allons nous concentrer sur le résultat supérieur, que nous allons utiliser pour trouver une expression pour cosinus à la puissance six de 𝜃. Nous commençons par définir notre valeur de 𝑛 égale à un dans cette expression. Ceci nous donne deux cosinus de 𝜃 est égal à 𝑧 plus un sur 𝑧. Et rappelez-vous, la question nous demande de trouver une expression pour le cosinus à la puissance six 𝜃, nous allons donc élever les deux membres de cette équation à la puissance six. Sur le membre gauche de notre équation, nous pouvons simplifier en prenant la puissance six de nos deux facteurs. Ceci nous donne deux à la puissance six fois cosinus à la puissance six de 𝜃. Et nous pouvons simplifier ceci car nous savons que deux à la puissance six est égal à 64.

Ainsi le membre gauche de notre équation se simplifie pour nous donner 64 cosinus à la puissance six de 𝜃. Et sur le membre droit de notre équation, nous avons la somme de deux nombres élevée à un exposant. Nous pouvons le faire en utilisant la formule du binôme de Newton. Nous rappelons, ceci nous dit pour tout entier positif 𝑚, 𝑎 plus 𝑏 tous élevés à la puissance 𝑚 est égal à la somme de 𝑟 est égal à zéro à 𝑚 de 𝑚 parmi 𝑟 fois 𝑎 à la puissance 𝑟 multiplié par 𝑏 à la puissance 𝑚 moins 𝑟. Nous pouvons donc l’utiliser pour distribuer l’exposant six sur le membre droit de notre équation. Nous obtenons que six parmi zéro 𝑧 à la puissance six plus six parmi un fois 𝑧 à la puissance cinq fois un sur 𝑧 plus six parmi deux fois 𝑧 à la puissance quatre multiplié par un sur 𝑧 le tout au carré. Puis nous continuons d’ajouter des termes de cette forme jusqu’à six parmi six multipliés par un sur 𝑧 le tout élevé à la puissance six.

Rappelez-vous, la question nous demande de trouver une expression pour le cosinus à la puissance six de 𝜃. Mais il faut que ce soit en fonction de cosinus d’angles multiples de 𝜃. Nous pouvons réarranger ceci pour obtenir le cosinus à la puissance six de 𝜃. Cependant, le membre droit de cette expression est en fonction de 𝑧 ; ce n’est pas encore en fonction de cosinus d’angles de 𝜃. Ceci signifie que nous allons devoir simplifier le membre droit de notre équation. Nous ferons cela terme par terme. Dans notre premier terme, six parmi zéro est égal à un, donc le premier terme est juste 𝑧 à la puissance six. Pour notre deuxième terme, six parmi un est égal à six et 𝑧 à la puissance cinq multiplié par un sur 𝑧 peut être simplifié en utilisant nos lois des exposants. C’est égal à 𝑧 à la puissance quatre. Donc notre deuxième terme est juste six 𝑧 à la puissance quatre.

Dans notre troisième terme, six parmi deux est 15 et 𝑧 à la puissance quatre multiplié par un sur 𝑧 au carré est 𝑧 à la puissance quatre sur 𝑧 au carré, ce qui est égal à 𝑧 au carré. Notre troisième terme est donc 15𝑧 au carré. Et nous pouvons simplifier le reste des termes dans ce développement de la même manière. Nous obtenons 20, 15 sur 𝑧 au carré, six sur 𝑧 à la puissance quatre et un sur 𝑧 à la puissance six. Et maintenant nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Nous pouvons simplifier cette expression en utilisant le théorème de De Moivre. Par exemple, nous avons le premier terme de ce développement plus le dernier terme de ce développement est 𝑧 à la puissance six plus un sur 𝑧 à la puissance six. En posant 𝑛 égal à six dans notre résultat utile, nous savons que ceci est égal à deux fois le cosinus de six 𝜃. Et ce n’est pas la seule fois que ce résultat apparaît dans notre développement. Nous pouvons l’utiliser deux fois de plus.

Nous allons donc mettre ensemble les termes de notre développement pour nous donner 𝑧 à la puissance six plus un sur 𝑧 à la puissance six plus six 𝑧 à la puissance quatre plus six sur 𝑧 à la puissance quatre plus 15𝑧 au carré plus 15 sur 𝑧 au carré plus 20. Et avant d’appliquer le théorème de De Moivre, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Dans nos premières parenthèses, nous pouvons supprimer le facteur commun de six. De même, dans nos troisièmes parenthèses, nous pouvons supprimer le facteur commun de 15. Ceci nous donne l’expression suivante. Et maintenant nous pouvons simplifier nos trois ensembles de parenthèses en utilisant le théorème de De Moivre. En posant 𝑛 égal à six, nous savons que 𝑧 à la puissance six plus un sur 𝑧 à la puissance six est deux cosinus de six 𝜃. Avec 𝑛 comme quatre, 𝑧 à la puissance quatre plus un sur 𝑧 à la puissance quatre est deux cosinus quatre 𝜃. Et avec 𝑛 comme deux, 𝑧 au carré plus un sur 𝑧 au carré est deux cosinus de deux 𝜃.

Donc en remplaçant ces expressions et en se souvenant que nous devons multiplier par nos coefficients et que nous devons encore ajouter 20 à la fin, nous obtenons 64 cosinus à la puissance six de 𝜃 est égal à deux cosinus de six 𝜃 plus 12 cosinus de quatre 𝜃 plus 30 cosinus de deux 𝜃 plus 20. Et maintenant, c’est presque exactement la forme que nous voulons. Tout ce dont nous avons besoin maintenant est de réarranger pour isoler cosinus à la puissance six de 𝜃. Et pour ce faire, nous allons devoir diviser les deux membres de notre équation par 64. Donc, pour ce faire, commençons par libérer de l’espace. Nous avons cosinus à la puissance six de 𝜃 est égal à l’expression suivante. Et pour déterminer cela, nous allons diviser chaque terme de cette expression par 64.

Ainsi, nous obtenons deux cosinus six 𝜃 le tout sur 64 plus 12 cosinus quatre 𝜃 le tout sur 64 plus 30 cosinus deux 𝜃 le tout sur 64 plus 20 divisé par 64. Tout ce qui reste à faire maintenant est d’annuler tous les facteurs communs de deux dans notre numérateur et dans notre dénominateur pour les quatre termes. Nous obtenons l’expression suivante. Et ceci nous donne notre réponse finale. Par conséquent, en utilisant le théorème de De Moivre, nous avons pu exprimer cosinus à la puissance six de 𝜃 en fonction de cosinus d’angles multiples entiers de 𝜃. Nous avons obtenu cosinus à la puissance six de 𝜃 est égal à un sur 32 fois cosinus six 𝜃 plus trois sur 16 fois cosinus quatre 𝜃 plus 15 sur 32 fois cosinus de deux 𝜃 plus cinq sur 16.

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