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Vidéo de question : Déterminer les coordonnées de points à l’aide de la formule du milieu Mathématiques

𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont des points alignés. Les coordonnées des points 𝐴 et 𝐶 sont respectivement (2; 4) et (-8; -8), et 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷. Quelles sont les coordonnées de 𝐵 et 𝐷 ?

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Transcription de vidéo

𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont des points alignés. Les coordonnées des points 𝐴 et 𝐶 sont respectivement deux, quatre et moins huit, moins huit, et la longueur AB est égale à la longueur BC, qui est égale à la longueur CD. Quelles sont les coordonnées de 𝐵 et 𝐷 ?

Dans cette question, nous avons quatre points alignés : 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Cela signifie qu’ils se situent tous sur une même droite. Nous devons déterminer les coordonnées des points 𝐵 et 𝐷. Et nous avons pour cela quelques informations. Nous savons que les points se trouvent sur la même droite. Nous connaissons les coordonnées des points 𝐴 et 𝐶. Et nous avons également des informations sur les distances entre les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷.

Pour des questions comme celle-ci, on commence généralement par représenter les informations fournies sur un graphique. Mais nous ne connaissons pas encore les positions relatives de ces quatre points, cela pourrait donc être difficile. Essayons plutôt d’en déduire des informations sur les points 𝐵 et 𝐷. On voit d’abord que la distance entre 𝐴 et 𝐵 est égale à la distance entre 𝐵 et 𝐶. En d’autres termes, le point 𝐵 est équidistant de 𝐴 et 𝐶. Et nous savons de plus que les points sont alignés. Donc, 𝐵 se situe sur le segment entre 𝐴 et 𝐶. Il n’y a qu’un seul point sur le segment entre 𝐴 et 𝐶 équidistant des deux. Et il s’agit du milieu. Par conséquent, 𝐵 est le milieu du segment 𝐴𝐶.

On peut alors rappeler que le milieu du segment d’extrémités 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux a pour coordonnées 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux. Il suffit donc de calculer les moyennes des abscisses et des ordonnées séparément. Or la question nous fournit les coordonnées des points 𝐴 et 𝐶. On peut donc substituer 𝑥 un égale deux, 𝑦 un égale quatre, 𝑥 deux égale moins huit, et 𝑦 deux égale moins huit dans cette formule. Les coordonnées de 𝐵 sont ainsi deux plus moins huit sur deux, quatre plus moins huit sur deux.

On peut à présent calculer chacune de ces coordonnées séparément. Tout d’abord, deux plus moins huit égale moins six, et on divise cela par deux pour obtenir moins trois. Ensuite, quatre plus moins huit égale moins quatre, et on divise cela par deux pour obtenir moins deux. Par conséquent, 𝐵 a pour coordonnées moins trois, moins deux. Et nous pouvons appliquer un raisonnement très similaire pour le point 𝐷. 𝐷 est sur la même droite que 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Et on voit que la distance entre 𝐵 et 𝐶 est égale à la distance entre 𝐶 et 𝐷. En d’autres termes, 𝐶 est le point sur le segment entre 𝐵 et 𝐷 équidistant de 𝐵 et de 𝐷. 𝐶 est donc le milieu du segment 𝐵𝐷. Cela signifie que l’on peut utiliser la formule du milieu pour trouver des expressions des coordonnées du point 𝐶.

On suppose d’abord que 𝐷 a pour coordonnées 𝑥, 𝑦. Rappelez-vous qu’il s’agit du point dont nous recherchons les coordonnées. Nous avons déjà montré que 𝐵 a pour coordonnées moins trois, moins deux. Puisque C est le milieu de ces deux points, la formule du milieu nous permet de trouver les expressions de ses coordonnées. Mais nous connaissons déjà ces coordonnées. L’abscisse et l’ordonnée de 𝐶 sont toutes les deux égales à moins huit. Par conséquent, la moyenne des abscisses des points 𝐵 et 𝐷 doit être égale à moins huit. Ce qui donne moins huit égale 𝑥 plus moins trois sur deux. De même, la moyenne des ordonnées des points 𝐵 et 𝐷 doit être égale à l’ordonnée du point 𝐶. On a donc moins huit égale 𝑦 plus moins deux sur deux.

On peut résoudre ces deux équations séparément pour trouver les coordonnées du point 𝐷. Commençons par la valeur de 𝑥. On multiplie les deux membres de l’équation par deux et on simplifie. On obtient moins 16 égale 𝑥 moins trois. On ajoute ensuite trois aux deux membres de l’équation. On trouve ainsi que 𝑥 est égal à moins 13. On fait de même pour trouver la valeur de 𝑦. On multiplie les deux membres de l’équation par deux et on simplifie. On obtient moins 16 est égal à 𝑦 moins deux. On ajoute ensuite deux aux deux membres de l’équation. Et on trouve que 𝑦 est égal à moins 14, ce qui nous donne notre réponse finale.

Par conséquent, si 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont des points alignés où le point 𝐴 a pour coordonnées deux, quatre et le point 𝐶 a pour coordonnées moins huit, moins huit, et si la longueur de 𝐴𝐵 est égale à la longueur de 𝐵𝐶, qui est égale à la longueur de 𝐶𝐷, alors 𝐵 a pour coordonnées moins trois, moins deux et 𝐷 a pour coordonnées moins 13, moins 14.

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