Vidéo question :: Compter en utilisant les combinaisons Mathématiques

Transcription de la vidéo

De combien de façons peut-on choisir 12 questions à résoudre parmi 15 lors d’un examen ?

Dans cette question, nous cherchons à choisir 12 personnes d’un total de 15. Rien n’indique que l’ordre dans lequel nous choisissons ces 12 personnes est important. En mathématiques, nous appelons cela une combinaison. C’est un moyen de calculer le nombre total des issues d’un événement où l’ordre dans les issus n’intervient pas. Et si nous cherchons à trouver le nombre de façons de choisir nos éléments parmi un total de 𝑛 éléments, nous utilisons C 𝑛 𝑟, où C 𝑛 𝑟 est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Et factorielle 𝑛 est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux fois 𝑛 moins trois et ainsi de suite.

Maintenant, nous cherchons dans cette question à choisir 12 personnes d’un total de 15. Donc, dans notre formule, nous allons poser 𝑟 égal à 12 et 𝑛 égal à 15. Et donc, le calcul que nous devons effectuer est C 15 12. C’est factorielle 15 sur factorielle 12 fois factorielle 15 moins 12. Mais bien sûr, 15 moins 12 est égal à trois. Donc, nous avons factorielle 15 sur factorielle 12 fois factorielle trois.

Maintenant, lorsque nous calculons des combinaisons, nous essayons généralement d’éviter de calculer complètement nos factorielles. C’est-à-dire que nous ne voudrions pas vraiment calculer 15 fois 14 fois 13 fois 12 et ainsi de suite. Au lieu de cela, nous remarquons que factorielle 15 peut être écrit comme 15 fois 14 fois 13 fois factorielle 12. Et puis, nous voyons que nous pouvons diviser à la fois notre numérateur et notre dénominateur par factorielle 12. Nous devons rechercher d’autres facteurs communs. Eh bien, nous pouvons diviser 14 et deux par deux et 15 et trois par trois. Et donc, C 15 12 se simplifie en cinq fois sept fois 13 divisé par un soit simplement cinq fois sept fois 13. C’est égal à 455.

Et donc, en calculant C 15 12, nous avons déterminé le nombre de façons dont 12 personnes peuvent être choisies parmi 15. Il y en a 455.