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Vidéo de question : Calculer la norme d’un vecteur Mathématiques

Étant donnés 𝐀 = (1 ; 3 ; 2), 𝐁 = (𝑘 ; 9 ; 𝑚, 𝐂 = (𝑘 ; 𝑚 ; 𝑘 + 𝑚) et sachant que 𝐀 ∥ 𝐁, calculez ||𝐂||.

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Transcription de vidéo

Étant donnés le vecteur 𝐀 : un, trois, deux, le vecteur 𝐁 : 𝑘, neuf, 𝑚, le vecteur 𝐂 : 𝑘, 𝑚, 𝑘 plus 𝑚 et sachant que 𝐀 est parallèle à 𝐁, calculez la norme du vecteur 𝐂.

Parmi ces trois vecteurs, nous connaissons toutes les composantes du vecteur 𝐀 alors que le vecteur 𝐁 a deux composantes inconnues, 𝑘 et 𝑚, et que toutes les composantes du vecteur 𝐂 qui dépendent de 𝑘 et 𝑚 sont donc inconnues. Il est cependant indiqué que 𝐀 et 𝐁 sont parallèles. On rappelle alors que si deux vecteurs en trois dimensions, que l’on peut appeler 𝐮 et 𝐯, sont parallèles, alors on peut écrire une équation comme celle-ci. Cette relation nous indique que les vecteurs sont égaux à un multiple constant 𝐶 près. 𝐶 peut être toute valeur non nulle. Et si une telle valeur existe, cette équation est vraie et les vecteurs 𝐮 et 𝐯 sont parallèles.

Si on écrit les composantes de ces vecteurs 𝐮 et 𝐯, on peut voir qu’il existe une deuxième façon d’exprimer que les vecteurs sont parallèles. Si c’est le cas, alors le quotient de leurs composantes en 𝑥 est égal au quotient de leurs composantes en 𝑦 et au quotient de leurs composantes en 𝑧. Ce sont deux façons mathématiquement équivalentes d’exprimer le parallélisme de ces vecteurs. Pour nos vecteurs 𝐀 et 𝐁, nous allons utiliser cette deuxième forme. La composante en 𝑥 de 𝐀 est un et celle de 𝐁 est 𝑘. Et puisque 𝐀 et 𝐁 sont parallèles, cela doit être égal à la composante en 𝑦 de 𝐀 sur la composante en 𝑦 de 𝐁 et à la composante en 𝑧 de 𝐀 divisée par la composante en 𝑧 de 𝐁.

Dans cette expression, nous avons deux inconnues 𝑘 et 𝑚 et deux équations indépendantes. On peut écrire que un sur 𝑘 est égal à trois sur neuf. Cela implique que neuf est égal à trois fois 𝑘, c’est-à-dire que 𝑘 est égal à trois. De même, notre cercle en rose nous montre que trois sur neuf est égal à deux sur 𝑚. Et en multipliant par neuf et 𝑚, on trouve que trois 𝑚 est égal à deux fois neuf, donc trois 𝑚 égale 18 et 𝑚 est égal à six. Maintenant que nous connaissons les valeurs de 𝑘 et 𝑚, nous pouvons écrire les composantes de 𝐂. Elles sont 𝑘 qui est égal à trois, 𝑚 qui est égal à six et 𝑘 plus 𝑚, soit neuf.

Notre objectif est à présent de calculer la norme de ce vecteur et cela implique de calculer la racine carrée de la somme des carrés de ses trois composantes. Trois au carré égale neuf, six au carré égale 36 et neuf au carré égale 81. La norme de 𝐂 est donc égale à racine carrée de 126. On peut cependant remarquer que 126 est égal à neuf fois 14. Et puisque la racine carrée de neuf est trois, on peut simplifier ce résultat par trois racine carrée de 14. Il s’agit de la norme du vecteur 𝐂 sur la base des composantes du vecteur 𝐁.

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