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Vidéo question :: Utiliser un arbre pondéré pour calculer une probabilité conditionnelle Mathématiques • Troisième année secondaire

Un sac contient 3 billes roses, 4 billes orange, et 5 billes jaunes. Deux billes sont tirées sans remise. En utilisant un arbre pondéré, déterminez la probabilité que la seconde bille soit jaune sachant que la première bille n’est pas jaune.

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Un sac contient trois billes roses, quatre billes orange et cinq billes jaunes. Deux billes sont tirées sans remise. En utilisant un arbre pondéré, déterminez la probabilité que la seconde bille soit jaune sachant que la première bille n’est pas jaune.

Dans cette question, on nous demande de dessiner un arbre pondéré. Et nous pourrions être tentés d’en dessiner un avec les trois billes de couleurs différentes - rose, orange et jaune - comme nous le savons, la première et la deuxième billes peuvent être n’importe laquelle de ces trois couleurs. Cependant, avant de faire cela, il convient de considérer que la question n’est que de savoir si la bille est jaune ou non. Nous voulons trouver la probabilité que la deuxième bille soit jaune sachant que la première bille ne l’est pas. En conséquence, il est plus judicieux de simplement considérer les probabilités de savoir si les première et deuxième billes sont jaunes ou non.

Il y a cinq billes jaunes sur un total de 12. Par conséquent, la probabilité que la première bille soit jaune est de cinq douzièmes. La probabilité que cette première bille ne soit pas jaune est de sept douzièmes, car la somme de ces probabilités est égale à un. Nous pourrions également résoudre ce problème en ajoutant le nombre de billes roses au nombre de billes orange. Cela équivaut à sept. Nous sélectionnons ensuite une deuxième bille et nous examinerons une fois de plus si elle est jaune ou non. Comme la bille n’est pas replacée, nous avons affaire à des événements dépendants.

Le deuxième événement dépend du premier. Si la première bille est jaune, il reste maintenant quatre billes jaunes dans le sac et un total de 11 billes. La probabilité que la deuxième bille soit jaune étant donné que la première bille est jaune est donc égale à quatre onzièmes. Si la première bille est jaune, la probabilité que la deuxième bille ne soit pas jaune est de sept onzièmes, car il reste sept billes dans le sac qui ne sont pas jaunes, et il y a un total de 11 billes.

Encore une fois, il convient de vérifier que les probabilités sur ces deux branches totalisent un. Nous pouvons répéter ce processus lorsque la première bille n’est pas jaune. Encore une fois, il reste 11 billes dans le sac, dont cinq cette fois sont jaunes et six ne le sont pas. Par conséquent, les probabilités respectives sont cinq onzièmes et six onzièmes.

Les mots « sachant que » signifient que nous avons affaire à une probabilité conditionnelle. Nous voulons trouver la probabilité que la deuxième bille soit jaune étant donné que la première ne l’est pas. Cela peut être trouvé sur l’arbre pondéré en suivant d’abord la branche où la première bille n’est pas jaune. Comme la deuxième bille doit être jaune, la branche qui correspond à celle-ci a une probabilité de cinq onzièmes.

Nous pouvons donc conclure que la probabilité que la deuxième bille soit jaune étant donné que la première bille ne l’est pas est de cinq onzièmes. Bien que cela ne soit pas requis pour cette question, il convient également de rappeler la formule de probabilité conditionnelle d’événements dépendants. Elle indique que la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 divisée par la probabilité de 𝐵.

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