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Vidéo de question : Écriture d’une équation du second degré à l’aide de la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines Mathématiques

Sachant que 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation 3𝑥² - 6𝑥 + 7 = 0, écrivez, dans sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 + 𝑀 et 𝐿𝑀.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation trois 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus sept égal zéro, écrivez dans sa forme la plus simple l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 plus 𝑀 et 𝐿 fois 𝑀.

Commençons par rappeler ce que nous savons de la relation entre une équation du second degré et les racines de cette équation. Prenons une équation du second degré où le coefficient de 𝑥 au carré est égal à un. Dans ce cas, on peut dire que l’opposé du coefficient de 𝑥 de cette équation nous donne la somme des racines de l’équation. Et le terme constant nous donne le produit de ces racines. Maintenant, nous pourrions remarquer que notre équation n’est pas sous cette forme. Nous avons trois 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus sept égal à zéro. Cependant, nous pouvons la manipuler un peu. Nous allons diviser chaque terme de cette équation par trois. Après, bien sûr, nous pouvons le faire puisque zéro divisé par trois est toujours égal à zéro. Trois 𝑥 au carré divisé par trois donne 𝑥 au carré. Ensuite, moins six 𝑥 divisé par trois donne moins deux 𝑥 et nous laisserons sept sur trois sous forme fractionnaire.

Nous avons donc à présent, une équation du second degré sous la bonne forme. C’est 𝑥 carré moins deux 𝑥 plus sept sur trois. Comparons cette équation avec la forme générale. Nous avons dit que l’opposé du coefficient de 𝑥 est la somme de nos racines. Maintenant, nos racines sont 𝐿 plus 𝑀 et le coefficient de 𝑥 dans notre équation est moins deux. La somme de nos racines doit alors être moins moins deux, ce qui vaut simplement deux, donc 𝐿 plus 𝑀 est égal à deux. Ensuite, le produit de nos racines, qui est 𝐿 fois 𝑀, est égal au terme constant, donc 𝐿𝑀 est égal à sept sur trois. Et ce que nous pourrions chercher à faire à présent, c’est résoudre ces équations simultanément. Cependant, on nous dit que nous avons une équation du second degré dont les racines sont 𝐿 plus 𝑀 et 𝐿𝑀. Et ainsi, nous allons utiliser les équations dont nous disposons pour trouver la somme de ces racines ainsi que la valeur du produit.

Commençons par la somme de nos racines. Les nouvelles racines sont 𝐿 plus 𝑀 et 𝐿𝑀. La somme de ces racines est donc 𝐿 plus 𝑀 plus 𝐿𝑀. Maintenant, en fait, si nous regardons cela, nous voyons que c’est composé de deux expressions dont nous connaissons la valeur. Nous savons que 𝐿 plus 𝑀 est égal à deux et 𝐿𝑀 est égal à sept tiers. Bien, en fait, écrivons deux comme étant six tiers afin de pouvoir ensuite ajouter ces fractions. Six plus sept donnent 13, donc six tiers plus sept tiers donnent treize tiers, et c’est parfait. Nous avons la somme de nos nouvelles racines et nous pouvons donc trouver le coefficient de 𝑥 dans notre nouvelle équation. Ce sera moins 13 sur trois.

Répétons cette méthode et trouvons le produit de nos nouvelles racines. C’est le produit de 𝐿 plus 𝑀 et de 𝐿𝑀, c’est donc 𝐿𝑀 facteur de 𝐿 plus 𝑀. Encore une fois, nous avons la valeur de 𝐿𝑀 et la valeur de 𝐿 plus 𝑀. Le produit est donc sept sur trois fois deux, soit 14 sur trois. Maintenant que nous connaissons le produit des racines, nous avons le terme constant de notre nouvelle équation. On peut donc dire que notre équation doit être 𝑥 au carré moins 13 sur trois 𝑥 plus 14 sur trois égal zéro. Nous allons écrire ceci sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal zéro. Et nous le ferons en multipliant chaque terme par trois. Nous avons donc notre nouvelle équation du second degré. C’est trois 𝑥 au carré moins 13𝑥 plus 14 égal zéro.

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