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Vidéo question :: Déterminer l’inverse d’une matrice à partir d’un produit Mathématiques • Troisième année secondaire

On considère les matrices 𝐴 et 𝐵, où 𝐴 = [1 ; −1 ; 1 et 1 ; 1 ; 2 et 0 ; 1 ; 0] et 𝐵 = [2 ; −1 ; 3 et 0 ; 0 ; 1 et -1 ; 1 ; -2]. En calculant d’abord 𝐴𝐵, trouvez l’inverse de 𝐴.

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Transcription de la vidéo

On considère les matrices 𝐴 et 𝐵, où 𝐴 est la matrice trois trois ; un, moins un, un, un, un, deux, zéro, un, zéro et 𝐵 est la matrice trois trois ; deux, moins un, trois, zéro, zéro, un, moins un, un, moins deux. En calculant d’abord 𝐴 fois 𝐵, trouvez l’inverse de 𝐴.

Dans cette question, on nous donne deux matrices trois trois, 𝐴 et 𝐵. Et on nous demande de déterminer l’inverse de la matrice 𝐴 en calculant d’abord le produit de 𝐴 et 𝐵. Pour ce faire, nous pouvons commencer par rappeler que l’inverse de la matrice 𝐴 est la matrice unique qui, multipliée par 𝐴, donne la matrice identité de la même taille.

Il existe plusieurs façons de calculer l’inverse d’une matrice ; cependant, on nous demande de calculer d’abord la matrice 𝐴 fois la matrice 𝐵. Commençons donc par calculer le produit de nos deux matrices. Pour ce faire, rappelons que nous devons multiplier chaque élément de chaque ligne de la matrice 𝐴 par les éléments correspondants de chaque colonne de la matrice 𝐵, puis calculer la somme.

Commençons par la première ligne de la matrice 𝐴 et la première colonne de la matrice 𝐵. On a un fois deux plus moins un fois zéro plus un multiplié par moins un. Le résultat sera l’élément de la première ligne et première colonne de la matrice 𝐴𝐵. Il convient également de noter que la matrice 𝐴𝐵 aura le même nombre de lignes que la matrice 𝐴 et le même nombre de colonnes que la matrice 𝐵. Donc, nous savons que nous aurons une matrice trois trois.

Lorsqu’on évalue la somme des produits des éléments correspondants de la première ligne de 𝐴 et de la première colonne de 𝐵 on obtient un. Nous pouvons ensuite ajouter cela dans la matrice 𝐴𝐵 puis suivre ce même processus pour les lignes restantes de 𝐴 et les colonnes de 𝐵. Recommençons ce processus pour la première ligne de 𝐴 et la deuxième colonne de 𝐵. Cela nous donnera l’élément de la première ligne et deuxième colonne de la matrice 𝐴𝐵. On a un fois moins un plus moins un fois zéro plus un fois un, qu’on peut évaluer et obtenir zéro.

On peut alors écrire zéro dans cette position de la matrice 𝐴𝐵. Nous devons suivre ce processus pour toutes les lignes restantes de 𝐴 et les colonnes de 𝐵. Pour la première ligne de 𝐴 et la troisième colonne de 𝐵, on obtient zéro. Pour la deuxième ligne de 𝐴 et la première colonne de 𝐵, on obtient zéro.

Nous pouvons suivre ce processus pour les lignes restantes de 𝐴 et les colonnes de 𝐵 pour obtenir la matrice un, zéro, zéro, zéro, un, zéro, zéro, zéro, un. Ceci est la matrice identité de taille trois ; il s’agit d’une matrice diagonale carrée dont chaque élément de la diagonale principale est égal à un.

Par conséquent, nous avons montré que 𝐴 fois 𝐵 est la matrice identité. Nous rappelons que l’inverse d’une matrice est unique. Puisque 𝐵 est un inverse de 𝐴, c’est l’inverse de 𝐴.

Par conséquent, nous avons pu montrer que l’inverse de 𝐴 est la matrice trois trois donnée par deux, moins un, trois, zéro, zéro, un, moins un, un, moins deux.

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