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Vidéo de question : Résoudre des problèmes concrets impliquant des suites géométriques Mathématiques

On introduit 42 litres d’eau dans un réservoir et, chaque jour, on introduit trois fois plus que la veille. Au bout de combien de jours a-t-on 1 134 litres dans le réservoir ?

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Transcription de vidéo

On introduit 42 litres d’eau dans un réservoir et, chaque jour, on introduit trois fois plus d’eau que la veille. Au bout de combien de jours a-t-on 1134 litres dans le réservoir ?

Pensons à ce qui se passe réellement ici. Le premier jour, nous avons 42 litres dans le réservoir. Le jour suivant, trois fois plus d’eau est versée dans le réservoir par rapport à la veille. Soit 42 fois trois, ce qui fait 126 litres. Puis, le troisième jour, trois fois la quantité d’eau est à nouveau versée dans le réservoir. Soit 126 fois trois, ce qui fait 378 litres. Nous avons donc généré une suite. Cette suite fait partie d’une catégorie spécifique. Il s’agit d’une suite géométrique. Il s’agit d’une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant non nul que nous appelons la raison.

Maintenant, dans ce cas, notre raison, que nous noterons 𝑟 est égale à trois. Nous multiplions la quantité d’eau versée dans le réservoir chaque jour par trois. Nous pouvons également noter 𝑎 le premier terme de notre suite qui est égal à 42 ou à 42 litres. Ainsi, nous pouvons alors rappeler l’expression du 𝑛-ième d’une suite géométrique. Elle est telle que 𝑎 indice 𝑛 est égal à 𝑎 fois 𝑟 élevé à la puissance 𝑛 moins un.

Maintenant, la question veut que nous déterminions quel jour 1134 litres sont versés dans le réservoir. En d’autres termes, il s’agit de savoir pour quelle valeur de 𝑛 𝑎 indice 𝑛 est égal à 1134 ? Remplaçons 𝑎 indice 𝑛 par 1134, 𝑎 par 42 et 𝑟 par trois dans notre expression du 𝑛-ième terme . Rappelez-vous que nous ne savons pas pour quelle valeur de 𝑛 ceci est vrai. Nous écrivons donc que 1134 est égal à 42 fois trois à la puissance 𝑛 moins un. Nous cherchons à trouver 𝑛. Divisons alors par 42. 1134 divisé par 42 est égal à 27.

Nous voyons donc que trois à la puissance 𝑛 moins un est égal à 27. Nous savons bien sûr que trois au cube font 27. Ainsi, pour que cette affirmation soit vraie, c’est-à-dire que pour 27 soit égal à trois à la puissance 𝑛 moins un, 𝑛 moins un doit en fait être égal à trois. Il s’agit d’une équation que nous pouvons résoudre en ajoutant un aux deux membres. Nous trouvons donc que 𝑛 est égal à quatre.

Nous pouvons donc dire que c’est au cours du quatrième jour que 1134 litres sont versés dans le réservoir. Bien sûr, pour une si petite valeur de 𝑛, nous aurions pu simplement continuer à calculer les termes de notre suite en multipliant chaque terme par trois. Si nous l’avions fait, nous aurions trouvé que le terme après 378 est 1134 comme trouvé précédemment.

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