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Vidéo de question : Déterminer une inconnue dans une équation du second degré dont les racines sont égales Mathématiques

Si les racines de l’équation 2𝑥² + 10𝑥 + 12 + 1/𝑘 = 0 sont égales, quelle est la valeur de 𝑘 ?

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Transcription de vidéo

Si les racines de l’équation deux 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus 12 plus un sur 𝑘 égal zéro sont égales, quelle est la valeur de 𝑘 ?

Bien, dans cette question, nous avons une expression du second degré. Et cette expression du second degré est sous la forme 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale à zéro. Donc, ce que nous pouvons faire pour calculer nos racines, c’est en fait utiliser notre discriminant. Et nous allons l’utiliser car une fois que nous calculerons nos racines, nous pourrons alors déterminer la valeur de 𝑘. Eh bien, le discriminant est trouvé en utilisant 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, où 𝑏 est le coefficient de 𝑥, 𝑎 est le coefficient de 𝑥 au carré et 𝑐 est notre constante numérique.

Et ce que nous savons de notre discriminant, c’est que s’il est strictement supérieur à zéro, c’est à dire que 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 est strictement supérieur à zéro, alors nos racines sont réelles et distinctes. Si le discriminant est égal à zéro, alors nous pouvons dire que les racines sont réelles et confondues. Cependant, si le discriminant est inférieur à zéro, alors nous pouvons dire que les racines ne sont pas réelles mais qu’elles sont complexes.

D’accord, super. Donc, nous savons maintenant comment utiliser notre discriminant. Mais lequel va nous être utile dans cette question ? Eh bien, en fait, ce sera la relation de milieu. 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 égal à zéro, avec des racines réelles et confondues. Et cela vient du fait qu’on nous a dit dans la question que les racines de notre équation sont égales. Eh bien, avant de pouvoir utiliser cette relation, tout d’abord, ce que nous devons faire, c’est établir à quoi correspondent nos 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

Eh bien, 𝑎 va être égal à deux, 𝑏 à 10, et 𝑐 va être égal à 12 plus un sur 𝑘. Donc, par conséquent, ce que nous pouvons dire, c’est que notre discriminant qui est 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, va être égal à zéro. Ainsi, par conséquent, 10 au carré moins quatre multiplié par deux facteur de 12 plus un sur 𝑘 est égal à zéro. Donc, on peut donc dire que 100 moins huit facteur de 12 plus un sur 𝑘 est égal à zéro. Bien, ce que nous allons faire maintenant, c’est développer nos parenthèses.

Donc, quand nous faisons cela, nous obtenons 100 moins 96 moins huit sur 𝑘 égal zéro. Maintenant, si nous soustrayons 96 à 100, nous obtenons quatre. Et puis si nous ajoutons huit sur 𝑘 aux deux membres de l’équation, nous allons obtenir quatre égal huit sur 𝑘. Ainsi, si nous multiplions les deux membres de l’équation par 𝑘, nous obtenons quatre 𝑘 égal huit. Donc, par conséquent, 𝑘 va être égal à deux et nous l’obtenons en divisant chaque membre de l’équation par quatre.

Donc, nous pouvons dire que si les racines de l’équation deux 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus 12 plus un sur 𝑘 égal zéro sont égales, alors la valeur de 𝑘 sera égale à deux.

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