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Vidéo de question : Déterminer la composante verticale d’un vecteur Physique

La figure montre un vecteur, 𝚨, de norme 43. L’angle entre le vecteur et l’axe des 𝑥 est de 66 °. Calculez la composante verticale du vecteur. Donnez votre réponse à l’entier le plus proche.

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Transcription de vidéo

La figure montre un vecteur 𝚨 de norme 43. L’angle entre le vecteur et l’axe des 𝑥 est de 66 degrés. Calculez la composante verticale du vecteur. Donnez votre réponse à l’entier le plus proche.

Nous pouvons voir que dans cette question on nous a donné un diagramme qui montre un vecteur, c’est cette flèche noire ici, et il est nommé 𝚨. Ce vecteur 𝚨 a une norme de 43 et la norme d’un vecteur est la longueur de la flèche qui le représente. Donc 43 est la longueur de cette flèche noire sur le diagramme. On nous dit que le vecteur fait un angle de 66 degrés par rapport à l’axe des 𝑥. Nous pouvons voir sur notre diagramme que le vecteur 𝚨 est à un angle de 66 degrés par rapport à l’axe horizontal. Cet axe horizontal est notre axe 𝑥, tandis que l’axe vertical est notre axe 𝑦.

On nous demande maintenant de trouver la composante verticale du vecteur 𝚨. La composante verticale ou composante 𝑦 d’un vecteur nous indique dans quelle mesure le vecteur s’étend dans la direction 𝑦. Autrement dit, si nous traçons horizontalement une ligne à partir de la pointe du vecteur jusqu’à ce que nous arrivions à l’axe des 𝑦, et c’est exactement ce que cette ligne en pointillés noirs est ici, alors la composante 𝑦 du vecteur est la distance de l’origine jusqu’au point où notre ligne pointillée rencontre l’axe.

Si la ligne que nous dessinons rencontre l’axe des 𝑦 dans la sens positif suivant 𝑦 par rapport à l’origine comme nous l’avons ici, alors la composante 𝑦 a une valeur positive. Si au lieu de cela notre ligne rencontrait l’axe quelque part dans le sens négatif suivant 𝑦 à partir de l’origine, alors la composante 𝑦 du vecteur aurait une valeur négative. Nous pouvons voir que ce n’est pas le cas ici et que cette ligne est dans la partie positive sur l’axe des 𝑦 par rapport à l’origine. Nous avons donc une composant 𝑦 ou verticale positive.

La norme de cette composante verticale est la distance entre l’origine et le point sur l’axe des 𝑦 où notre ligne la rencontre. Nous pouvons remarquer que cette longueur forme le côté vertical d’un triangle rectangle, et nous allons l’annoter 𝑎 indice 𝑦. Nous savons que cet angle ici entre le vecteur 𝚨 et l’axe des 𝑥 est égal à 66 degrés. Nous pouvons également rappeler que les axes 𝑥 et 𝑦 sont perpendiculaires, ce qui signifie qu’ils ont un angle de 90 degrés entre eux.

Donc, si nous appelons cet angle ici comme 𝜃, c’est l’angle entre le vecteur 𝚨 et l’axe vertical ou 𝑦, alors la somme de l’angle 𝜃 et l’angle de 66 degrés doit être 90 degrés. Si nous soustrayons 66 degrés des deux côtés, nous obtenons une équation qui dit que 𝜃 est égal à 90 degrés moins 66 degrés. Et cela équivaut à 24 degrés.

Donc, dans notre triangle rectangle, nous connaissons maintenant la valeur de cet angle 𝜃. Et nous connaissons également la longueur de l’hypoténuse parce que c’est la norme de notre vecteur 𝚨, 43. Nous pouvons utiliser cette information pour déterminer la longueur du côté vertical du triangle, et nous savons qu’il s’agit de la composante 𝑦, ou composante verticale, de notre vecteur.

Pour ce faire, nous devons rappeler une équation trigonométrique. Considérons un triangle rectangle général qui a une hypoténuse de longueur ℎ, un angle 𝜃, un côté adjacent à cet angle 𝜃 de longueur 𝑎 et un côté opposé à l’angle 𝜃 de longueur 𝑜. Pour ce triangle général, le cosinus de l’angle 𝜃 est égal à 𝑎, la longueur du côté adjacent à 𝜃, divisée par ℎ, la longueur de l’hypoténuse.

En comparant le triangle rectangle général à celui que nous avons identifié dans notre diagramme, nous pouvons voir que nous connaissons les valeurs de ℎ et 𝜃. ℎ, la longueur de l’hypoténuse, est égale à 43, tandis que nous avons trouvé que l’angle 𝜃 est égal à 24 degrés. De plus, 𝑎 indice 𝑦 est notre valeur pour 𝑎, le côté adjacent du triangle.

Maintenant, afin de faire usage de cette équation, nous allons devoir la réorganiser en fonction de 𝑎. Pour ce faire, nous multiplions les deux côtés par ℎ. À droite, le ℎ au numérateur annule le ℎ au dénominateur. Ensuite, en écrivant l’équation dans l’autre sens, nous avons que 𝑎 est égal à ℎ fois cos 𝜃. Dans notre cas, ce côté adjacent 𝑎 est égal à la composante verticale de notre vecteur. C’est 𝑎 indice 𝑦. Et puis nous pouvons substituer nos valeurs pour ℎ et 𝜃 dans la partie droite de cette équation pour obtenir que 𝑎 indice 𝑦 est égal à 43 fois le cosinus de 24 degrés.

Le calcul de l’expression donne un résultat de 39,282, où les trois petits points sont utilisées pour montrer qu’il y a d’autres décimales. On nous dit de donner notre réponse à l’entier le plus proche. En arrondissant notre résultat, nous obtenons notre réponse à la question : la composante verticale du vecteur 𝚨 est égale à 39.

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