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Vidéo de question : Calculer l’aire d’un parallélogramme à l’aide des matrices Mathématiques

Utilisez les déterminants pour calculer l’aire du parallélogramme dont les sommets sont les points de coordonnées (1, 1), (−4, 5), (-2, 8) et (3, 4).

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Transcription de vidéo

Utilisez les déterminants pour calculer l’aire du parallélogramme dont les sommets sont les points de coordonnées un, un ; moins quatre, cinq ; moins deux, huit ; et trois, quatre.

Alors, je vais commencer par faire un schéma. Ceci est un schéma de notre parallélogramme. Alors, comment allons-nous utiliser les déterminants pour calculer l’aire ? Considérons comment déterminer l’aire d’un parallélogramme. Bien, nous multiplions sa largeur par sa longueur.

Ainsi, sur notre schéma, nous pouvons les représenter en utilisant des vecteurs. Notre largeur sera deux, trois. Ainsi, nous avons le vecteur deux, trois. Car nous sommes passés de moins quatre à moins deux. Ainsi, cela correspond à deux unités dans la direction positive. Puis, nous sommes également passés de cinq à huit. Soit trois unités dans la direction positive. Puis, le vecteur pour notre longueur sera cinq, moins quatre. Ainsi, nous allons utiliser ces deux vecteurs pour déterminer l’aire de notre parallélogramme.

Alors, nous avons les vecteurs deux, trois ; cinq, moins quatre. Nous allons à présent les rassembler pour former une matrice deux deux où les colonnes sont ces deux vecteurs. Le déterminant de cette matrice que nous formons donnera l’aire car nous pouvons dire que l’aire du parallélogramme est égale au module du déterminant de la matrice deux, cinq, trois, moins quatre. Ainsi, maintenant nous allons utiliser la méthode que nous connaissons pour calculer le déterminant d’une matrice deux deux.

Pour une matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, son déterminant est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Par conséquent, nous pouvons dire que notre aire sera égale au module, ou à la valeur absolue, de deux multiplié par moins quatre moins cinq multiplié par trois, ce qui est égal à la valeur absolue, ou au module, de moins huit moins 15, ce qui nous donne le résultat suivant : le module, ou la valeur absolue, de moins 23.

Cependant, nous savons que lorsque nous voulons déterminer la valeur absolue, nous ignorons le résultat négatif. Ceci est logique dans cette situation car une aire ne sera jamais une valeur négative. Par conséquent, nous pouvons dire que si nous avons un parallélogramme avec les sommets un, un ; moins quatre, cinq ; moins deux, huit ; et trois, quatre, son aire sera égale à 23.

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