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Vidéo de question : Déterminer les composantes inconnues de deux forces étant données les composantes de leur résultante Mathématiques

Les forces 𝐅₁ = 2𝐢 + 2𝐣, 𝐅₂ = 𝑎𝐢 + 9𝐣 et 𝐅₃ = 9𝐢 + 𝑏𝐣 agissent sur une particule, avec 𝐢 et 𝐣 deux vecteurs unitaires orthogonaux. Sachant que la résultante des forces 𝐑 = 2𝐢 - 6𝐣, déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

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Transcription de vidéo

Les forces 𝐅 un égale à deux 𝐢 plus deux 𝐣, F deux égale à 𝑎𝐢 plus neuf 𝐣 et 𝐅 trois égale à neuf 𝐢 plus 𝑏𝐣 agissent sur une particule, avec 𝐢 et 𝐣 deux vecteurs unitaires orthogonaux. Sachant que la résultante des forces 𝐑 est égale à deux 𝐢 moins six 𝐣, déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

Commençons par rappeler ce qu’on entend par résultante des forces. La résultante des forces est la force globale agissant sur l’objet. Ici, c’est la somme de 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐅 trois. Alors, on nous dit que la résultante de ces forces est égale à deux 𝐢 moins six 𝐣. Alors, comme la résultante est la somme des trois forces, on peut dire que 𝐅 un plus 𝐅 deux plus 𝐅 trois est égal à 𝐑. Nous allons remplacer chaque force par sa valeur donnée dans l’énoncé. Et nous voyons que deux 𝐢 plus deux 𝐣 plus 𝑎𝐢 plus neuf 𝐣 plus neuf 𝐢 plus 𝑏𝐣 doit être égal à deux 𝐢 moins six 𝐣.

Ensuite, nous allons regrouper les composantes en 𝐢 et séparément, les composantes en 𝐣 pour chaque force sur le membre à gauche. Les composantes en 𝐢 sont deux, 𝑎 et neuf. Et les composantes en 𝐣 sont deux, neuf et 𝑏. Alors, on peut dire que deux plus 𝑎 plus neuf 𝐢 plus deux plus neuf plus 𝑏 𝐣 est égal à deux 𝐢 moins six 𝐣. Maintenant, bien sûr, pour que le vecteur de gauche soit égal au vecteur de droite de l’équation, nous savons que toutes les composantes doivent être égales. En identifiant les composantes pour la direction 𝐢, nous obtenons deux plus 𝑎 plus neuf est égal à deux.

De même, dans la direction 𝐣, l’équation est deux plus neuf plus 𝑏 est égal à moins six. Nous pouvons simplifier la première équation et obtenir 𝑎 plus 11 égal à deux. Ensuite, il faut trouver 𝑎 en soustrayant 11 des deux membres. Et nous obtenons que 𝑎 est égal à moins neuf. De même, l’autre équation devient 11 plus 𝑏 égal à moins six. Pour résoudre cette équation et trouver 𝑏, nous allons soustraire 11 des deux membres. Et nous obtenons 𝑏 égal à moins 17. Donc, connaissant certaines informations sur les trois forces et leur résultante, nous avons trouvé que 𝑎 est égal à moins neuf et 𝑏 est égal à moins 17.

Et en fait, nous pourrions vérifier les résultats en remplaçant 𝑎 égal à neuf et 𝑏 égal à 17 dans les forces d’origine. En faisant cela et en calculant ensuite la somme des trois forces, nous constatons en effet qu’elle est égale à deux 𝐢 moins six 𝐣, ce qui est bien la valeur de 𝐑.

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