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Vidéo de question : Calculer un rayon orbital Physique

Une planète a une orbite circulaire autour d’une étoile. Il tourne autour de l’étoile à une vitesse de 17,9 km / s, et l’étoile a une masse de 2,18 × 10³⁰ kg. Quel est le rayon de l’orbite de la planète ? Prenez une valeur de 6,67 × 10⁻¹¹ m³ / kg ⋅ s² pour la constante gravitationnelle universelle et 1,5 × 10¹¹ m pour la longueur de 1 UA. Donnez votre réponse à l’unité astronomique près.

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Transcription de vidéo

Une planète a une orbite circulaire autour d’une étoile. Il tourne autour de l’étoile à une vitesse de 17,9 kilomètres par seconde, et l’étoile a une masse de 2,18 fois 10 puissance 30 kilogrammes. Quel est le rayon de l’orbite de la planète ? Prenez une valeur de 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres au cube par kilogramme seconde au carré pour la constante gravitationnelle universelle et 1,5 fois 10 puissance 11 mètres pour la longueur d’une UA. Donnez votre réponse à l’unité astronomique près.

Ici, nous avons une planète en orbite autour d’une étoile. Et on nous a donné certaines des propriétés du système, telles que la vitesse orbitale de la planète, que nous appellerons 𝑉, et la masse de l’étoile, que nous appellerons 𝑀. On nous a aussi indiqué la valeur de la constante gravitationnelle universelle représentée par 𝐺 majuscule ainsi que le facteur de conversion pour passer entre les mètres et les unités astronomiques, que nous utiliserons plus tard.

Nous voulons connaître le rayon orbital de la planète, que nous appellerons 𝑟. Nous aurons donc besoin d’une formule qui relie ces quantités. Nous utiliserons la formule qui dit que la vitesse orbitale 𝑉 est égale à la racine carrée de 𝐺𝑀 divisé par 𝑟, qui ne s’applique que dans le cas particulier de l’orbite circulaire comme nous l’avons ici. Puisque nous voulons trouver le rayon orbital de la planète, copions la formule ici et calculons 𝑟.

Tout d’abord, nous allons mettre les deux côtés au carré pour annuler le radical sous lequel apparaît 𝑟. Ensuite, nous multiplierons les deux côtés de l’équation par 𝑟 sur 𝑉 au carré pour annuler 𝑟 du côté droit et 𝑉 du carré du côté gauche afin d’isoler 𝑟. Mais avant de pouvoir remplacer ces termes, ils doivent tous être exprimés en unités de base SI. 𝑀 et 𝐺 sont déjà bons, mais 𝑉 est exprimé en kilomètres par seconde, nous devrons donc les convertir en mètres par seconde.

Rappelons qu’un kilomètre est égal à 10 puissance trois mètres. Faisons donc cette substitution au numérateur. Et nous avons 17,9 fois 10 puissance trois mètres par seconde. Ou en notation scientifique, cela fait 1,79 fois 10 puissance quatre mètres par seconde. Maintenant, substituons ces valeurs dans la formule, et nous avons 𝑟 est égal à 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres au cube par kilogramme seconde au carré fois 2,18 fois 10 puissance 30 kilogrammes divisé par 1,79 fois 10 puissance quatre mètres par seconde le tout au carré.

Et avant de calculer, vérifions les unités en commençant par distribuer cet exposant. Et maintenant, annulons-les par seconde au carré ainsi que les kilogrammes et les deux puissances de mètres. Cela ne laisse qu’une seule puissance de mètres au numérateur, ce qui est un bon signe car nous cherchons une distance. En calculant maintenant, nous avons trouvé que 𝑟 est égal à 4,54 fois 10 puissance 11 mètres.

Mais ce n’est pas notre réponse finale car on nous demande de donner notre valeur à l’unité astronomique près. Nous savons qu’une UA est égale à 1,5 fois 10 puissance 11 mètres. Multiplions donc 𝑟 par ce facteur de conversion et éliminons les mètres. Et maintenant, nous avons 𝑟 est égal à 3,03 unités astronomiques. Donc, finalement, en arrondissant à l’unité astronomique près, nous avons constaté que le rayon de l’orbite de la planète est de trois UA.

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