Transcription de la vidéo
Deux enfants, Sophia et Michael, courent à travers des champs. Ils entrent tous les deux en même temps dans un champ de 36 m de long et 77 m de large par le coin inférieur gauche du champ. Sophia court le long des bords du terrain à une vitesse moyenne de 5,65 mètres par seconde, d’abord vers le coin supérieur gauche, puis vers le coin supérieur droit. Michael traverse le champ en ligne droite vers le coin supérieur droite, mais les herbes hautes du champ le font courir à une vitesse moyenne de seulement 2,5 mètres par seconde. Quelle est la différence entre les temps mis par Sophia et Michael pour arriver en haut à droite du champ ?
Alors, dans cette question, nous avons deux enfants qui courent d’un coin d’un champ à un autre. On nous dit que les enfants partent en même temps mais que chacun court à une vitesse différente et selon un itinéraire différent. On nous demande de déterminer la différence entre les temps qu’ils mettent pour arriver au coin opposé.
Commençons par extraire les informations pertinentes de la question et utilisons-les pour dessiner un croquis. On nous dit que le champ mesure 36 mètres de long et 77 mètres de large. Nous savons que les enfants entrent par le coin inférieur gauche du champ. Donc, sur notre croquis, c’est ce point ici. Sophia court vers le coin supérieur gauche, puis vers le coin supérieur droit. Nous avons ajouté la route de Sophia au schéma en orange. On nous dit que Sophia court à une vitesse de 5,65 mètres par seconde. Nous appellerons cette vitesse 𝑆 indice s, où l’indice s signifie Sofia.
Pendant ce temps, Michael traverse le terrain en ligne droite vers le coin en haut à droite. Voilà donc cette trajectoire diagonale ici. On nous dit que Michael court à une vitesse de 2,5 mètres par seconde. Nous appellerons sa vitesse 𝑆 indice m, où m représente Michael.
Nous avons maintenant extrait toutes les informations pertinentes de la question. En regardant notre schéma, nous devrions voir que nous avons plusieurs informations sur les distances et les vitesses. Et la question nous demande de déterminer une valeur de temps. Rappelons donc que nous avons une formule qui relie les trois grandeurs vitesse, distance et temps. Plus précisément, nous savons que la vitesse 𝑆 est égale à la distance, que nous avons nommée 𝑑, divisée par le temps, nommée 𝑡. Maintenant, dans cette question, nous avons des informations sur les distances et les vitesses et nous cherchons à trouver une valeur de temps. Alors réorganisons cette formule pour faire du temps 𝑡 le sujet.
Si nous multiplions les deux côtés de l’équation par 𝑡, alors les 𝑡 au numérateur et au dénominateur du côté droit de l’équation s’annulent. Et nous avons que 𝑆 multiplié par 𝑡 est égal à 𝑑. Ensuite, si nous divisons les deux côtés par 𝑆, alors les 𝑆 au numérateur et au dénominateur sur le côté gauche s’annulent. Et nous nous retrouvons donc avec l’équation que le temps 𝑡 est égal à la distance 𝑑 divisée par la vitesse 𝑆. Cette formule signifie que si nous connaissons la distance parcourue par chaque enfant et la vitesse à laquelle il court, nous pouvons calculer le temps que chacun d’entre eux met pour arriver au coin supérieur droit du champ en commençant en bas à gauche.
Commençons par Sophia. Nous connaissons déjà la vitesse. C’est 𝑆 indice s est égal à 5,65 mètres par seconde. Nous avons juste besoin de calculer la distance. Nous savons que le chemin qu’elle suit est le long des flèches orange dans la figure. Donc, c’est d’abord jusqu’au coin supérieur gauche, puis de là vers le coin supérieur droit. Donc, d’abord, elle court le long d’un bord de 36 mètres de long, puis elle court le long d’un bord de 77 mètres de long. Ainsi, la distance totale qu’elle parcourt, que nous appellerons 𝑑 indices s, est égale à 36 mètres plus 77 mètres.
En additionnant ces nombres, on obtient que la distance 𝑑 indice s est égale à 113 mètres. Maintenant que nous connaissons la distance de Sofia et sa vitesse, nous pouvons utiliser cette formule ici pour calculer le temps qu’elle met. Si nous appelons ce temps 𝑡 indice s, alors nous obtenons que 𝑡 indice s est égal à la distance 113 mètres divisée par la vitesse 5,65 mètres par seconde. En faisant ce calcul, nous obtenons un temps 𝑡 indice s de 20 secondes. Il faut donc 20 secondes à Sophia pour passer du coin inférieur gauche au coin supérieur droit.
Faisons maintenant la même chose pour Michael. Comme avec Sophia, nous connaissons déjà sa vitesse, dans ce cas, 2,5 mètres par seconde. Mais encore une fois, nous devons déterminer la distance qu’il parcourt. De notre schéma, nous pouvons voir que Michael court le long de l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Et nous connaissons les longueurs des deux autres côtés de ce triangle. Elles sont de 36 mètres et 77 mètres. Le théorème de Pythagore nous dit que pour un triangle rectangle général avec une hypoténuse de longueur 𝑐 et d’autres côtés de longueur 𝑎 et 𝑏, que 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. En prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons que la longueur 𝑐 de l’hypoténuse est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.
En comparant ce triangle rectangle général avec celui du schéma que nous avons dessiné pour la question, nous pouvons voir que dans notre cas, 𝑎 est égal à 77 mètres et 𝑏 est égal à 36 mètres. La longueur de l’hypoténuse de ce triangle donne la distance que Michael parcourt, que nous appellerons 𝑑 indice m. Et donc nous avons que 𝑑 indice m est égal à la racine carrée de 77 mètres au carré plus 36 mètres au carré. Si nous prenons les carrés de ces nombres, alors sous la racine carrée, nous obtenons 5929 mètres carrés plus 1296 mètres carrés. Ces deux nombres s’ajoutent pour donner 7225 mètres carrés. Lorsque nous prenons la racine carrée, nous constatons que la distance parcourue par Michael, 𝑑 indice m, est égale à 85 mètres.
Maintenant que nous connaissons la vitesse de Michael, qui est de 2,5 mètres par seconde, et la distance qu’il parcourt, qui est de 85 mètres, nous pouvons utiliser cette formule ici pour calculer le temps qu’il met. Nous appellerons ce temps 𝑡 indice m. Et nous avons que 𝑡 indice m est égal à la distance, 85 mètres, divisée par sa vitesse, 2,5 mètres par seconde. Lorsque nous faisons le calcul, nous trouvons un temps de 𝑡 indice m égal à 34 secondes.
Ok, maintenant on y est presque. Mais la question nous demande la différence entre les temps mis par les deux enfants pour arriver. Nous savons le temps que met chaque enfant pour passer du coin inférieur gauche au coin supérieur droit du terrain. Pour Sophia, ce temps est 𝑡 indice s égal à 20 secondes, tandis que pour Michael, malgré le chemin plus direct, son temps est plus long vu que 𝑡 indice m est égal à 34 secondes. Pour calculer la différence entre les temps d’arrivée, nous soustrayons le temps de Sophia de celui de Michael. Nous appellerons cette différence de temps 𝑇 majuscule donc nous avons 𝑇 majuscule égale 𝑡 indice m moins 𝑡 indice s.
Ici, nous prenons le temps de course de Michael et on y soustrait le temps pendant lequel Sophia court aussi. Ce qui nous reste, c’est le temps pendant lequel Michael court toujours après que Sophia soit déjà arrivée dans le coin supérieur droit, c’est-à-dire la différence dans leurs temps d’arrivée. En insérant les valeurs, nous avons 𝑡 indice m est égal à 34 secondes et 𝑡 indice s est égal à 20 secondes. La différence dans leurs temps d’arrivée est donc de 34 secondes moins 20 secondes. Cette soustraction donne un résultat de 14 secondes.
Notre réponse à la question est donc que la différence entre les temps mis par Sophia et Michael pour arriver au coin supérieur droit du champ est de 14 secondes.
