Vidéo : Le théorème fondamental de l’analyse

Le théorème fondamental de l’analyse

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Le théorème fondamental de l’analyse

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer le théorème fondamental de l’analyse, et nous allons découvrir ce que cela nous dit sur la valeur des intégrales.

Le théorème fondamental de l’analyse nous dit que l’intégrale d’un taux de variation est égale à la variation nette. Mais qu’est-ce que cela signifie vraiment ? Mathématiquement, nous pouvons écrire ceci de la manière suivante. L’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝐹 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale 𝐹 de 𝑏 moins 𝐹 de 𝑎. Observons chacun de nos termes. 𝐹 de 𝑥 est une fonction. Cela signifie que 𝐹 prime de 𝑥, qui est la dérivée première de 𝐹 de 𝑥, peut être considérée comme le taux de variation de 𝐹 de 𝑥.

Lorsque nous intégrons ceci entre les limites de 𝑎 et de 𝑏, nous obtenons notre fonction initiale évaluée en 𝑏 moins notre fonction initiale évaluée en 𝑎. Si nous considérons 𝐹 𝑎 comme notre valeur initiale de 𝐹 et 𝐹 𝑏 comme notre valeur finale de 𝐹, nous commençons alors à mieux comprendre que nous envisageons la variation nette, ou la différence, entre deux valeurs de notre fonction initiale. Si notre valeur finale 𝐹 𝑏 est strictement supérieure à notre valeur initiale 𝐹 𝑎, nous verrons une variation nette positive. Et l’inverse est vrai si 𝐹 𝑏 est strictement inférieure à 𝐹 𝑎.

C’est ici que l’on mentionne rapidement que le théorème fondamental de l’analyse est étroitement lié à la seconde partie du théorème fondamental de l’analyse. Pour cette vidéo, nous allons peut-être donner beaucoup de détails à ce sujet, mais vous connaissez peut-être déjà certains des concepts impliqués. Regardons un exemple pour avoir une idée de notre théorème.

Soit 𝐹 de 𝑡 égale 𝑡 au carré. Évaluez l’intégrale entre un et trois de 𝐹 prime de 𝑡 par rapport à 𝑡 en utilisant le théorème fondamental de l’analyse.

Pour cette question et beaucoup d’autres, il est toujours utile d’écrire le théorème que vous utilisez. Ici, nous avons le théorème fondamental de l’analyse. Bien que la variable dans notre question soit 𝑡 et que la variable dans le théorème que nous avons écrit soit 𝑥, On l’applique exactement de la même manière. Nous prenons la limite inférieure d’intégration, ou 𝑎, comme un, et la limite supérieure d’intégration, ou 𝑏, comme trois. En utilisant notre théorème, nous pouvons dire que l’intégrale entre un et trois de 𝐹 prime de 𝑡 par rapport à 𝑡 égale 𝐹 de trois moins 𝐹 de un.

Encore une fois, voici les limites de l’intégration que nous avons utilisées. Notez que nous pouvons appliquer notre théorème car nous avons une intégrale définie d’une dérivée 𝐹 prime de 𝑡. Et cela peut être considéré comme le taux de variation de 𝐹 de 𝑡. Maintenant, la fonction 𝐹 de 𝑡 elle-même a été donnée dans la question. Et c’est tout simplement 𝑡 carré. Nous pouvons donc évaluer le côté droit de notre fonction comme trois au carré moins un au carré. Bien sûr, cela représente neuf moins un, qui égale simplement huit. Suite à cette simplification, nous avons répondu à notre question. Nous avons utilisé le théorème fondamental de l’analyse pour évaluer l’intégrale donnée et elle égale huit.

Ok, maintenant que nous avons vu un exemple, revenons à notre théorème pour mieux comprendre ce qui se passe. Ici, nous avons un graphique d’une fonction 𝐹 de 𝑥. Et ci-dessous, nous avons le graphique correspondant de 𝐹 prime de 𝑥. En prenant le côté gauche du théorème fondamental de l’analyse, l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝐹 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥 nous donne l’aire sous cette ligne. Le théorème fondamental de l’analyse nous dit que cela nous donne la différence entre la valeur 𝐹 de 𝑏 et la valeur 𝐹 de 𝑎.

Ici, nous voyons que 𝐹 de 𝑏 strictement supérieure 𝐹 de 𝑎. Donc ça doit être un nombre positif. Et bien sûr, nous savons que lorsque nous regardons les intégrales, si nous voyons une zone située au-dessus de l’axe des 𝑥, le résultat est positif, et c’est ce que nous voyons sur notre graphique correspondant. Mettre ces deux éléments ensemble nous donne une compréhension visuelle du théorème fondamental de l’analyse.

Un autre point intéressant à noter est que notre quantité 𝐹 pourrait changer dans les deux sens entre 𝑎 et 𝑏. Ici, nous voyons que lorsque nous passons directement du point 𝑎 à 𝑏, 𝐹 de 𝑥 diminue puis augmente. Le graphique correspondant à 𝐹 prime pourrait ressembler à ceci. Encore une fois, en effectuant notre intégration, nous voyons que nous avons une petite zone au-dessous de l’axe des 𝑥, qui serait évaluée comme négative, et une zone beaucoup plus grande au-dessus de l’axe des 𝑥, qui serait positive. Encore une fois, cela correspond à ce que nous déduisons de notre observation. Puisque 𝐹 of 𝑏 est strictement supérieure à 𝐹 of 𝑎, alors notre variation nette doit être un nombre positif.

Avant de poursuivre, il convient de souligner quelques erreurs courantes en utilisant cet exemple graphique. Le théorème fondamental de l’analyse ne nous donne que la différence entre la valeur 𝐹 de 𝑏 et la valeur 𝐹 de 𝑎. Il ne faut pas s’embrouiller et penser que cela ne fait que nous donner la valeur 𝐹 de 𝑏, et il ne faut pas non plus tirer de conclusions quant au comportement de notre fonction entre les valeurs de 𝑎 et de 𝑏. Par exemple, une variation nette positive ne signifie pas nécessairement que notre fonction n’augmente qu’entre 𝑎 et 𝑏. Regardons un autre exemple qui illustre une erreur possible.

Vrai ou faux ? Si ℎ de 𝑡 représente le taux de variation de la taille d’un bébé en centimètres par mois, alors lorsqu’il a 𝑡 mois, l’intégrale entre zéro et six de ℎ de 𝑡 par rapport à 𝑡 égale la taille du bébé lorsqu’il a six mois.

Pour cette question, nous reconnaissons d’abord qu’on nous donne une fonction qui représente un taux de variation. On nous interroge ensuite sur une intégrale définie impliquant ce taux de variation. Lors de l’évaluation d’intégrales définies de taux de variation, l’outil que nous utilisons est le théorème fondamental de l’analyse. Maintenant, nous pouvons être habitués à voir cette notation prime dans notre intégrale pour nous dire qu’il s’agit d’un taux de variation ou d’une dérivée. Mais ici, la question nous dit que la fonction ℎ de 𝑡 est déjà un taux de variation d’une certaine quantité. Nous pouvons donc définir 𝐻 majuscule de 𝑡 comme la quantité elle-même, la taille du bébé quand il a 𝑡 mois. En d’autres termes, il s’agit de la primitive de ℎ minuscule de 𝑡.

Étant donné que le théorème fondamental de l’analyse utilise la primitive du taux que nous intégrons, nous sommes maintenant en mesure de former une équation. L’intégrale donnée dans notre question égale 𝐻 majuscule de six, la taille du bébé quand il a six mois, moins 𝐻 majuscule à zéro, la taille du bébé à zéro mois. À ce stade, nous pouvons reconnaître un piège potentiel dans notre question.

Lors de la première lecture de notre question, nous pouvons remarquer que notre intégrale a une limite inférieure de zéro et une limite supérieure de six. Cela pourrait nous amener à conclure que notre limite inférieure peut être ignorée, puisqu’elle égale zéro. Nous conclurions donc que l’intégrale est bien égale à 𝐻 de six, la taille du bébé lorsqu’il a six mois. Et nous pourrions penser que l’affirmation dans la question est vraie.

Ce serait une erreur. Notre limite inférieure ne peut être ignorée, car 𝐻 de zéro n’égale pas zéro. 𝐻 de zéro correspond à la taille du bébé à zéro mois, qui est sa naissance. Nous savons qu’à sa naissance, un bébé est très petit mais n’a pas la taille zéro. En réalité, notre intégrale nous donne la variation nette entre la taille du bébé à zéro mois et sa taille à six mois. Comme nous venons de dire que 𝐻 de zéro n’égale pas zéro, cette variation nette n’est pas la même chose que 𝐻 de six. Cela signifie que nous venons de prouver que la réponse à notre question « faux ».

L’exemple que nous venons de voir montre que le théorème fondamental de l’analyse peut être appliqué à de nombreux processus physiques. Un exemple courant est la relation entre la position, la vitesse et l’accélération. Imaginons un objet se déplaçant dans une dimension, disons, le long de l’axe des 𝑥. Nous pouvons représenter sa position à un moment donné 𝑡 comme la fonction 𝑥 de 𝑡. Sa vitesse est alors le taux de variation de sa position par rapport au temps. En d’autres termes, la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps. De même, l’accélération est le taux de variation de la vitesse par rapport au temps. Encore une fois, c’est une dérivée par rapport temps.

Étant donné ces relations, nous devons donc comprendre que la vitesse est la primitive de l’accélération et que la position est la primitive de la vitesse. Puisque le théorème fondamental de l’analyse implique une fonction, qui est un taux de variation et sa fonction primitive, nous pouvons donc l’utiliser pour évaluer des intégrales définies impliquant la vitesse, ce qui nous donne la variation nette entre deux positions, et des intégrales définies impliquant une accélération, ce qui nous donne la variation nette entre deux vitesses. Voyons un exemple.

Une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. Sa vitesse en mètres par seconde comme fonction du temps est 𝑣 de 𝑡 égale six 𝑡 au carré moins huit 𝑡. Trouvez le déplacement de la particule entre 𝑡 égale un et 𝑡 égale cinq.

Pour cette question, la première chose à faire est de faire attention à ce mot, déplacement. Le déplacement d’une particule est la distance entre sa position finale et sa position initiale. Ici, notre particule est à sa position initiale lorsque 𝑡 égale un, et à sa position finale lorsque 𝑡 égale cinq. Etant donné que la vitesse de la particule est définie par 𝑣 de 𝑡, définissons sa position le long de l’axe des 𝑥 par 𝑥 de 𝑡. Le déplacement que nous essayons de trouver est donc 𝑥 de cinq, la position finale, moins 𝑥 de un, la position initiale.

Bon, rappelons maintenant la relation entre la vitesse et la position. Si nous dérivons la position en fonction du temps, nous obtenons la vitesse. En fait, nous pouvons représenter la vitesse comme 𝑥 prime de 𝑡. Cela pourrait nous aider à reconnaître que nous pouvons trouver notre déplacement en utilisant le théorème fondamental de l’analyse. Puisque la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps, donc le théorème fondamental de l’analyse nous permet de former l’équation suivante.

L’intégrale entre un et cinq de 𝑥 prime de 𝑡 par rapport à 𝑡 égale 𝑥 de cinq moins 𝑥 de un. Et nous remarquerons que la partie droite de cette équation correspond exactement au déplacement dont nous avons besoin. Bien sûr, 𝑥 prime de 𝑡, qui est le taux de variation de la position par rapport au temps, est la vitesse.

Maintenant, la question nous a donné la fonction pour la vitesse, qui est six 𝑡 au carré moins huit 𝑡. À l’aide des formules générales d’intégration, nous augmentons chacune des puissances de 𝑡 et divisons par la nouvelle puissance. Nous pouvons alors simplifier. Six sur trois, c’est deux. Et huit sur deux, c’est quatre. Nous travaillons maintenant sur les limites de notre intégrale définie. En introduisant ces limites, il ne reste que les éléments suivants.

Et après quelques étapes, il nous reste notre réponse, soit 152 mètres. Enfin, rappelons-nous que l’intégrale que nous venons d’évaluer est égale au déplacement de la particule en mètres entre 𝑡 égale un et 𝑡 égale cinq. Cela signifie que nous avons répondu à notre question. Et le déplacement que nous recherchions est de 152 mètres.

Une autre application utile du théorème fondamental de l’analyse consiste à trouver la valeur d’une fonction à un moment donné lorsqu’une certaine information est disponible. Nous pouvons voir comment cela fonctionne en réarrangeant la forme connue du théorème fondamental de l’analyse. En ajoutant 𝐹 de 𝑎 aux deux côtés de l’équation, il nous reste 𝐹 de 𝑎 plus notre intégrale égale à 𝐹 de 𝑏. Cette forme du théorème fondamental de l’analyse peut être utilisée lorsque nous avons la valeur de 𝐹 lorsque 𝑥 égale 𝑎 et qu’on nous donne la fonction 𝐹 prime de 𝑥, qui est le taux de variation de 𝐹. Nous pouvons utiliser ces deux informations pour trouver la valeur de 𝐹 en 𝑥 égale 𝑏. Et ici, il convient de noter que nous pouvons choisir la valeur que nous voulons pour 𝑏.

Une façon de penser à cela est de commencer avec la valeur de 𝐹 en 𝑎, d’ajouter la variation nette de 𝐹 entre 𝑎 et 𝑏 et on obtient 𝐹 de 𝑏. Un énoncé logiquement équivalent à notre premier réarrangement est le suivant. 𝐹 de 𝑏 moins notre intégrale égale 𝐹 de 𝑎. Et bien sûr, cela a un sens. 𝐹 de 𝑏 moins la variation nette de 𝐹 entre 𝑎 et 𝑏 égale 𝐹 de 𝑎. Comme mentionné, ces deux affirmations sont équivalentes et peuvent être utilisées pour résoudre les mêmes types de problèmes.

Cependant, ici nous avons toujours traité 𝐹 de 𝑎 comme notre valeur initiale de 𝐹, et 𝐹 de 𝑏 comme notre valeur finale de 𝐹. N’oubliez pas de faire attention à cela, car cela imposera le sens des limites de votre intégrale. Voyons un dernier exemple où l’on utilise ce réarrangement.

Un baril est rempli d’eau à un taux de 𝑏𝑡 égale trois au carré 𝑡 sur quatre plus un demi-litre par jour, où 𝑡 est le nombre de jours. Étant donné que le baril contient 10 litres d’eau lorsque 𝑡 égale deux, déterminez le volume d’eau dans le baril lorsque 𝑡 égale six.

Pour cette question, on nous dit qu’un baril est rempli d’eau à un certain taux 𝑏𝑡. En d’autres termes, 𝑏𝑡 est le taux de variation de l’eau dans le baril. Pour poursuivre, définissons le volume d’eau dans le baril comme majuscule 𝐵𝑡. Notez que majuscule 𝐵𝑡 est la primitive de notre taux de variation, minuscule 𝑏𝑡. Maintenant, en plus du taux de variation du volume d’eau dans un baril, la question nous a donné le volume lui-même à un instant connu, dans le cas présent lorsque 𝑡 égale deux. On nous demande ensuite de trouver le volume d’eau à un autre instant 𝑡 égale six.

Avec les informations qui nous ont été fournies, nous pouvons utiliser un réarrangement du théorème fondamental de l’analyse. Exprimons les informations données dans notre question sous cette forme. Le théorème fondamental de l’analyse nous dit que l’intégrale entre deux et six du taux de variation du volume d’eau dans le baril par rapport au temps est égale au volume d’eau dans le baril lorsque 𝑡 égale six moins le volume d’eau dans le baril lorsque 𝑡 égale deux.

Étant donné la relation entre 𝑏 minuscule de 𝑡 et 𝐵 majuscule de 𝑡, nous pouvons exprimer 𝑏 minuscule de 𝑡 de la manière suivante. Bien sûr, c’est juste la dérivée de 𝑏 de 𝑡. Si nous remplaçons ceci dans notre équation, nous voyons que nous avons deux informations connues et une information inconnue. Réarrangeons cette équation pour mettre de côté ce que nous essayons de trouver, 𝐵 majuscule de six.

Si l’on ajoute 𝐵 majuscule de deux des deux côtés, alors on obtient ce qui suit. Nous connaissons 𝐵 majuscule de deux. La quantité d’eau dans le baril lorsque 𝑡 égale deux est 10 litres. Nous avons aussi la fonction 𝑏 minuscule de 𝑡. Alors, substituons-les dans l’équation. Arrêtons-nous et prenons un moment pour comprendre notre équation. Si nous prenons la quantité d’eau dans le baril lorsque 𝑡 égale deux et ajoutons la quantité d’eau qui pénètre dans le baril entre 𝑡 égale deux et 𝑡 égale six, il restera la quantité d’eau dans le baril lorsque 𝑡 égale six. Logiquement, cela devrait avoir beaucoup de sens pour nous. Alors, poursuivons nos calculs.

En utilisant les formules générales d’intégration, nous augmentons de un la puissance de 𝑡 et divisons par la nouvelle puissance. Nous introduisons ensuite les limites de notre intégrale et continuons à simplifier. Avec quelques étapes de simplification supplémentaires, nous arrivons à une réponse, que 𝐵 majuscule de six égale 64 litres. Bien sûr, 𝐵 majuscule de six est le volume d’eau dans le baril lorsque 𝑡 égale six. Donc, en arrivant à cette ligne, nous avons répondu à notre question. Nous avons obtenu cette réponse en utilisant un réarrangement du théorème fondamental de l’analyse et en entrant le taux de variation et la valeur connue donnée dans la question.

Suite à ce dernier exemple, revoyons quelques points clés. Prendre une intégrale définie d’un taux de variation nous donne une variation nette. Et ceci est exprimé mathématiquement par le théorème fondamental de l’analyse montré ici. Le théorème nous donne une formule pour calculer la variation qui se produit entre ce que nous pouvons interpréter comme la valeur initiale de 𝐹, 𝐹 de 𝑎, et ce que nous interprétons comme la valeur finale de 𝐹, 𝐹 de 𝑏. Nous faisons cela en utilisant le taux de variation de 𝐹 par rapport à 𝑥, qui est 𝐹 prime de 𝑥.

Le théorème fondamental de l’analyse nous donne un outil pratique pour évaluer de nombreux systèmes physiques, tels que ceux impliquant la position, la vitesse et l’accélération, le volume de liquides et la vitesse d’écoulement, ou peut-être même la population et son taux de croissance. Enfin, le théorème fondamental de l’analyse peut être utilisé pour trouver une valeur inconnue de 𝐹. Cela peut être fait quand on vous donne une valeur dite initiale ou finale de 𝐹 et une fonction pour le taux de variation de 𝐹 par rapport à 𝑥.

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