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Vidéo question :: Utilisation de moments pour déterminer le centre de masse d’une barre uniforme avec des masses ponctuelles ajoutées Mathématiques • Troisième année secondaire

𝐴𝐵 est une barre uniforme de longueur 27 cm et de masse 2 kg. Les points 𝐶 et 𝐷 coupent la barre en trois de sorte que 𝐶 est le plus proche de 𝐴 et 𝐷 le plus proche de 𝐵. Sachant que quatre masses de 8, 4, 3 et 7 kilogrammes sont placées en 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷, respectivement, déterminez la distance entre le point 𝐴 et le centre de gravité du système.

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Transcription de la vidéo

𝐴𝐵 est une barre uniforme de longueur 27 centimètres et de masse deux kilogrammes. Les points 𝐶 et 𝐷 coupent la barre en trois de sorte que 𝐶 est le plus proche de 𝐴 et 𝐷 le plus proche de 𝐵. Sachant que quatre masses de huit, quatre, trois et sept kilogrammes sont placées en 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷, respectivement, déterminez la distance entre le point 𝐴 et le centre de gravité du système.

Commençons avec un schéma du scénario. Nous avons une barre uniforme 𝐴𝐵 de longueur 27 centimètres et de masse deux kilogrammes. La barre est trisectée, c’est-à-dire divisée en trois par les points 𝐶 et 𝐷. La distance entre 𝐴 et 𝐶 est donc d’un tiers de 27 centimètres, soit neuf centimètres. Et la distance entre 𝐴 et 𝐷 est de deux tiers de 27 centimètres, soit 18 centimètres. Et enfin, nous avons des masses ponctuelles de huit, quatre, trois et sept kilogrammes placées en 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷, respectivement. Rappelons que si nous avons un système de particules, la distance du centre de masse à un axe particulier, disons l’axe des 𝑥, est donnée par la somme de toutes les masses individuelles, 𝑚 𝑖, fois leur distance à l’axe, 𝑥 𝑖, le tout divisé par la somme des masses individuelles.

Dans ce scénario, nous avons quatre particules dans un système, mais nous avons également une barre uniforme. Heureusement, cependant, nous pouvons traiter la barre uniforme comme une particule en trouvant d’abord son centre de masse. Rappelons que le centre de masse d’une barre uniforme est situé en son centre. Donc, si la barre est de longueur 𝑙, alors il est en 𝑙 sur deux de l’une de ses extrémités. Pour trouver le centre de masse de tout le système, nous pouvons traiter la barre uniforme comme une particule avec une masse ponctuelle de deux kilogrammes, placée à son centre. Puisque la barre mesure 27 centimètres de long, la distance de ce point du point 𝐴 est de 27 sur deux ou 13,5 centimètres.

Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour utiliser la formule afin de trouver le centre de masse du système. Nous devons parcourir chacune des masses ponctuelles une par une, en multipliant leur masse par leur distance au point 𝐴, en les additionnant toutes ensemble, puis en les divisant par la masse totale. En commençant par la masse au point 𝐴, nous avons une masse de huit kilogrammes à une distance zéro de 𝐴. Au point 𝐵, nous avons une masse de quatre kilogrammes à 27 centimètres de 𝐴. En 𝐶, nous avons une masse de trois kilogrammes à neuf centimètres de 𝐴. En 𝐷, nous avons une masse de sept kilogrammes, qui est à 18 centimètres de 𝐴. Et enfin, nous avons la barre uniforme qui a une masse de deux kilogrammes et son centre de masse est à 13,5 centimètres de 𝐴.

Ensuite, nous devons diviser par la masse totale, qui est huit plus quatre plus trois plus sept plus deux kilogrammes. En additionnant les termes du numérateur, on obtient 288. Et au dénominateur, nous obtenons 24. La simplification nous donne notre réponse finale: le centre de masse est à 12 centimètres du point 𝐴.

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