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Vidéo de la leçon : Angles de tangence

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser les propriétés des tangentes pour trouver la mesure d'un angle de tangence ou d'un angle inscrit sous-tendu par le même arc.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser les propriétés des tangentes pour trouver la mesure d’un angle de tangence ou d’un angle inscrit interceptant le même arc. En géométrie, les éléments sont tangents lorsqu’ils se rencontrent en un seul point. Ce point peut être appelé le point de tangence. Lorsque nous regardons notre deuxième figure, nous pouvons voir que les droites peuvent être tangentes à plus d’un cercle. Et comme le montre notre première figure, les cercles peuvent être tangents aux autres cercles.

Avant de commencer à aborder les tangentes et les cercles, nous devons nous souvenir de la plus courte distance entre un point et une droite. Si nous avons la droite 𝑙 et le point 𝐴, la plus courte distance entre le point 𝐴 et la droite 𝑙 est la droite qui forme un angle droit ou un angle perpendiculaire entre le point et la droite. Si nous regardons cette distance du point 𝐴 à la droite 𝑙, elle ne forme pas d’angle droit et c’est très clairement une droite plus longue que la distance 𝑑 que nous avons déjà étiquetée. Et si nous traçons un cercle sur cette figure, nous illustrerons un point important. Une droite tangente à un cercle crée un angle droit entre le rayon et la droite tangente. C’est l’une des premières propriétés des tangentes que nous devrons connaître pour déterminer les angles manquants dans les cercles.

Nous allons maintenant examiner trois autres propriétés fondamentales des tangentes. Regardons d’abord deux tangentes et un point extérieur. Si deux segments tangents sont issus du même point extérieur, alors les deux segments sont égaux. On peut dire que c’est un point extérieur 𝑃. Ces deux lignes sont des segments tangents, ce qui signifie qu’ils forment des angles droits avec les rayons avec lesquels ils se coupent. Et sur la base de cette propriété, nous pouvons dire que ces deux segments sont de même longueur. On peut aussi dire que la ligne entre le centre d’un cercle tracé vers un point extérieur, qui est l’intersection de deux segments, coupe l’angle entre les deux tangentes en son milieu. Sur cette figure, cela signifierait que cet angle est égal à celui-là.

La dernière propriété que nous allons examiner s’appelle le théorème de l’angle de la corde et d’une tangente. D’après ce théorème, l’angle entre une tangente et une corde est égal à l’angle dans le segment alterne. Dans notre exemple, voici un angle situé entre une tangente et une corde. Et il sera égal à la mesure de cet angle dans le segment alterne. La même chose est vraie pour l’angle bleu. Il s’agit d’un angle entre une tangente et une corde. Et il est égal à l’angle dans le segment alterne. Nous sommes presque prêts à essayer quelques exemples.

Souvent, lorsque nous avons affaire à des tangentes de cercles, nous rencontrons des triangles. Nous devons donc nous rappeler que dans un triangle isocèle, les deux angles opposés aux côtés égaux seront égaux. Et dans un triangle équilatéral, les trois angles seront égaux. En fait, ils seront tous égaux à 60 degrés. Regardons donc un exemple.

Déterminez la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶.

Lorsque nous regardons cette figure, nous voyons que l’angle 𝐵𝐴𝐶 est situé ici. Nous pouvons commencer par énumérer les informations données par la figure. Si le point 𝑀 est le centre du cercle, alors nous pouvons dire que le segment 𝑀𝐵 est un rayon du cercle de centre 𝑀. On peut aussi dire que 𝑀𝐴 est un rayon du cercle de centre 𝑀. En effet, les points 𝐴 et 𝐵 se trouvent à l’extérieur du cercle. On peut aussi dire que la droite 𝐴𝐶 est tangente au cercle de centre 𝑀 en le point 𝐴.

Ce que nous voulons faire maintenant, c’est de prendre ces trois informations et d’en tirer des conclusions. Par conséquent, nous pouvons dire que 𝑀𝐵 et 𝑀𝐴 vont être de même longueur car nous savons quelle est la définition d’un rayon. Et peu importe où vous tracez une ligne de l’extérieur du cercle vers le centre, toutes ces longueurs seront égales. Et cela signifie que le triangle 𝐵𝑀𝐴 est un triangle isocèle car un triangle isocèle a deux côtés de longueur égale. De là, on peut dire que la mesure de l’angle 𝑀𝐵𝐴 est égale à la celle de l’angle 𝑀𝐴𝐵, qui est une propriété des triangles isocèles. Et nous poserons la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐵 égale à 𝑥 degrés.

Nous pouvons donc dire que 90 degrés plus 𝑥 degrés plus 𝑥 degrés doivent être de 180 degrés en raison de la somme des angles internes dans n’importe quel triangle. Nous pouvons simplifier cela en une équation qui dit 90 plus deux 𝑥 égale 180. Pour la résoudre afin de déterminer 𝑥, nous soustrayons 90 des deux côtés. Deux 𝑥 est égal à 90. Puis, nous divisons les deux côtés de l’équation par deux pour voir que 𝑥 est égal à 45. Nous pouvons ajouter cela à notre figure.

On peut également dire que la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐶 est de 90 degrés, ce qui est une propriété des droites tangentes à un cercle. Et notre angle perpendiculaire 𝑀𝐴𝐶 est composé de deux angles plus petits, l’angle 𝑀𝐴𝐵 et l’angle 𝐵𝐴𝐶. Le plus grand angle est de 90 degrés. L’angle 𝑀𝐴𝐵 est de 45 degrés. Et comme nous savons que 45 plus 45 est égal à 90, nous devons dire que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est égale à 45 degrés.

Voici un autre exemple.

Étant donné que la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐶 est égale à 36 degrés, déterminez la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝑀 et la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐶.

Nous voulons connaître la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝑀 et la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐶. Commençons par les informations données. Nous savons que la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐶 est de 36 degrés, nous pouvons donc l’ajouter à la figure. Nous voulons également citer d’autres informations que nous pouvons identifier à partir de la figure. Nous savons que le segment 𝐴𝐶 et le segment 𝐴𝐵 sont tangents au cercle de centre 𝑀 puisque chaque segment coupe le cercle en un seul point. Le segment 𝐴𝐶 et le segment 𝐴𝐵 se coupent en le point 𝐴. À partir de là, nous disons que le segment 𝑀𝐶 et le segment 𝑀𝐵 sont des rayons du cercle de centre 𝑀. Nous pouvons prendre ces quatre informations et en tirer des conclusions.

On peut dire que la longueur du segment 𝐴𝐶 est égale à celle du segment 𝐴𝐵, car c’est l’une des propriétés des tangentes lorsqu’elles se coupent en un point extérieur. On peut également dire, en se basant sur les propriétés du cercle, que le segment 𝑀𝐴 coupe l’angle 𝐵𝐴𝐶 en son milieu. C’est un de nos théorèmes sur le cercle. Et puisque c’est vrai, la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝑀 doit être égale à celle de l’angle 𝑀𝐴𝐶. Et l’angle 𝑀𝐴𝐶 est de 36 degrés, donc il en découle que l’angle 𝐵𝐴𝑀 est de 36 degrés. C’est la première partie de la question.

Nous allons maintenant passer à l’angle 𝐴𝑀𝐶. Nous reconnaissons le fait que les points 𝐴, 𝐶 et 𝑀 forment un triangle. Et puisque le segment 𝐴𝐶 est tangent à ce cercle en le point 𝐶, il y a un angle droit ici. La mesure de l’angle 𝑀𝐶𝐴 est de 90 degrés. Et une fois que nous voyons cela, nous pouvons dire que 90 degrés plus 36 degrés plus notre angle manquant doivent être de 180 degrés parce que nous savons que la somme des angles internes dans les triangles doit être égale à 180. 90 plus 36 est 126. Et lorsque nous soustrayons 126 degrés des deux côtés, on voit que la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐶 est de 54 degrés.

Passons à un autre exemple, qui porte cette fois sur un triangle équilatéral au milieu.

Déterminez la mesure de l’angle 𝐶𝐴𝐵.

Tout d’abord, nous voulons énumérer les informations figurant sur cette figure. On peut dire que le segment 𝐷𝐶 est égal au segment 𝐴𝐶, qui est égal au segment 𝐷𝐴. Ensuite, la droite 𝐴𝐵 est tangente au cercle en le point 𝐴. En utilisant ces informations, nous cherchons la mesure de l’angle 𝐶𝐴𝐵. À l’aide des deux premières affirmations, nous pouvons tirer quelques conclusions. Tout d’abord, nous pouvons dire que le triangle 𝐴𝐶𝐷 est équilatéral. Puisque nous savons qu’il s’agit d’un triangle équilatéral, nous pouvons dire que les trois angles internes mesureront 60 degrés. Mais pour aller plus loin, nous devons nous rappeler le théorème de l’angle de la corde et d’une tangente.

Le théorème de l’angle de la corde et d’une tangente nous dit que l’angle entre une tangente et une corde est égal à l’angle dans le segment alterne. Notre angle, l’angle 𝐶𝐴𝐵, est l’angle entre une tangente et une corde. Et il sera égal à cet angle dans le segment alterne. Donc nous dirions que la mesure de l’angle 𝐶𝐴𝐵 est égale à 60 degrés d’après le théorème de l’angle de la corde et d’une tangente.

Notre prochain exemple peut sembler plus compliqué à première vue, mais nous suivrons le même processus pour trouver des angles manquants.

Étant donné que la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐶 est de 31 degrés, déterminez la mesure de l’angle 𝐶 et la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴.

On nous a dit que l’angle 𝐵𝐸𝐶 est de 31 degrés. C’est notre première information. Nous voulons aller de l’avant et énumérer les autres choses à déduire de la figure. Nous pouvons dire que le segment 𝑁𝐹, le segment 𝑁𝐴, le segment 𝑁𝐸 et le segment 𝑁𝐵 sont tous des rayons du cercle de centre 𝑁. De même, nous pouvons dire que la demi-droite 𝐶𝐵 est tangente à ce cercle en le point 𝐵. Nous cherchons à connaître la mesure de l’angle 𝐶, le voici, et la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴, qui est ici.

Nous voulons utiliser les informations données et parvenir à des conclusions. Tout d’abord, nous pouvons dire que tous les rayons seront de même longueur car nous connaissons la définition d’un rayon. On peut également dire que le triangle 𝐴𝑁𝐹 et le triangle 𝑁𝐸𝐵 sont des triangles isocèles car chacun possède deux côtés de même longueur. On peut aussi en déduire que la mesure de l’angle 𝐴𝑁𝐹 sera égale à la mesure de l’angle 𝐵𝑁𝐸 car ce sont des angles opposés par le sommet. Cela signifie que nous pouvons dire que le triangle 𝐵𝑁𝐸 est superposable au triangle 𝐴𝑁𝐹 parce qu’ils ont un côté, un angle et un côté qui sont superposables. Et puisque ces triangles sont superposables, tous ces angles seront égaux les uns aux autres. Ce seront des angles superposables, mesurant tous 31 degrés.

Quelque chose d’autre que nous pouvons identifier maintenant est que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est de 90 degrés en raison des propriétés des tangentes. Jusqu’à présent, nous avons identifié beaucoup d’angles, mais pas ceux que nous devons trouver. Nous voulons maintenant nous concentrer sur le triangle créé à partir des points 𝐸, 𝐶 et 𝐵. L’angle 𝐶𝐵𝐸 est formé à partir d’un angle de 90 degrés et d’un angle de 31 degrés. Cela signifie que l’angle 𝐶𝐵𝐸 est de 121 degrés. La mesure de l’angle 𝐶 plus 121 degrés plus 31 degrés doit être égale à 180 degrés. 121 plus 31 est égal à 152. Nous soustrayons cette valeur des deux côtés de l’équation. Et nous obtenons la mesure de l’angle 𝐶, qui est alors égale à 28 degrés.

Pour trouver la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴, nous devons suivre une démarche vraiment similaire. Nous allons nous concentrer sur le triangle 𝐴𝐵𝐷, qui a un angle droit et un angle de 31 degrés. Dans ce cas, la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴 plus 90 degrés plus 31 degrés sera égale à 180 degrés. 90 plus 31 vaut 121. En soustrayant alors 121 des deux côtés de l’équation, nous déduisons que la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴 est de 59 degrés. Et nous avons trouvé ces deux réponses en sachant que la somme des angles internes dans un triangle doit être égale à 180 degrés.

Dans notre dernier exemple, on ne nous donne pas de figure. On nous donne à la place des informations portant sur la figure en question.

Un cercle de centre 𝑀 a un segment de diamètre 𝐴𝐵. Si la droite 𝐴𝐶 et la droite 𝐵𝐷 sont deux tangentes au cercle, que pouvez-vous en déduire ?

Pour résoudre ce problème, commençons par tracer un cercle. Il s’agit du cercle de centre 𝑀, d’un diamètre de 𝐴𝐵. On sait que le segment 𝐴𝐵 doit passer par le centre 𝑀 puisqu’il s’agit d’un diamètre. Puis, nous avons une droite 𝐴𝐶. Nous savons que nous nommons les droites par deux points appartenant à cette droite. Et comme la droite 𝐴𝐶 est tangente à ce cercle, elle ne peut que couper le cercle en le point 𝐴. On peut alors tracer une droite qui ressemble à ceci pour 𝐴𝐶. La droite 𝐴𝐶 rencontre le diamètre et forme un angle droit. Il en est de même pour le segment 𝐵𝐷. Nous nommons les droites par des points appartenant à cette droite. Et comme nous savons que c’est une tangente, elle ne peut que couper le cercle en le point 𝐵. Et nous avons donc la droite 𝐵𝐷. Cette droite forme également un angle droit avec le diamètre.

Ce que nous voyons sur cette figure, c’est que la droite 𝐴𝐶 et la droite 𝐵𝐷 sont parallèles. D’après la façon dont nous les avons tracées, la droite 𝐴𝐶 et la droite 𝐵𝐷 sont verticales et le diamètre 𝐴𝐵 est horizontal. Mais ce n’est pas la seule façon de tracer la figure. Disons que nous avons le diamètre tracé de cette façon. La droite 𝐴𝐶 forme toujours un angle droit avec le diamètre, tout comme 𝐵𝐷. Et encore une fois, nous verrons que ces deux droites sont parallèles. Elles ne se couperont jamais. Si ces deux figures ne vous convainquent toujours pas, nous pourrions effectuer une vérification rapide.

Si ces droites ne sont pas parallèles, elles se couperont à un point donné. Et nous pourrions appeler ce point 𝑃. Et si elles se coupent quelque part très loin, elles formeront un triangle. Et le triangle serait 𝐴𝑃𝐵. Le problème est que nous savons que les angles d’un triangle doivent avoir une somme de 180 degrés. Puisque la mesure de l’angle 𝐴 est de 90 degrés et que la mesure de l’angle 𝐵 est de 90 degrés, alors, combinés, ils ont déjà une somme de 180 degrés. Cela confirme que ces deux droites ne peuvent jamais se couper. Elles ne pourront pas former de triangle et sont donc parallèles. La droite 𝐴𝐶 et la droite 𝐵𝐷 sont parallèles.

Faisons un récapitulatif pour passer en revue les connaissances apprises. Une droite tangente à un cercle crée un angle droit entre le rayon et la droite tangente. Et à partir d’un point extérieur, deux tangentes tracées sur un cercle ont des segments tangents égaux, ces segments étant le segment entre le point extérieur et le point de tangence.

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