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Vidéo de question : Déterminer le travail effectué par une force sur un corps étant donnée l’expression déplacement-temps Mathématiques

Un objet de masse 3 kg se déplace sous l'action d'une force 𝐅, de sorte que son déplacement 𝐬(𝑡) = (5𝑡²)𝐢 + (7𝑡)𝐣. Calculez le travail effectué par cette force dans les premières 6 secondes de son mouvement, sachant que le déplacement est mesuré en mètres, la force en newtons et le temps 𝑡 en secondes.

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Transcription de vidéo

Un objet de masse de trois kilogrammes se déplace sous l’action d’une force 𝐅 telle que son déplacement 𝐬 de 𝑡 est égal à cinq 𝑡 au carré 𝐢 plus sept 𝑡 𝐣. Calculez le travail effectué par cette force dans les six premières secondes de son mouvement, étant donné que le déplacement est mesuré en mètres, la force en newtons et le temps 𝑡 en secondes.

Dans cette question, on nous demande de trouver le travail effectué par une force. Et nous rappelons que cela peut être calculé en trouvant le produit scalaire entre le vecteur force 𝐅 et le vecteur de déplacement 𝐝. Dans cette question, le vecteur de déplacement est 𝐬, et cela est donné en fonction du temps 𝑡. On ne nous donne pas la valeur du vecteur force dans la question. En rappelant la deuxième loi de Newton, nous savons que ce vecteur force est égal à la masse du corps multipliée par son vecteur d’accélération. Et la masse du corps est de trois kilogrammes.

Lorsqu’on nous donne un vecteur de déplacement en fonction du temps 𝑡, nous pouvons trouver un vecteur vitesse 𝐯 de 𝑡 et un vecteur accélération 𝐚 de 𝑡 en dérivant l’expression du déplacement en fonction du temps. En effet, le vecteur vitesse 𝑣 est égal à d𝑠 sur d𝑡 et l’accélération 𝑎 est égale à d𝑣 sur d𝑡, ou d deux 𝑠 sur d𝑡 au carré. Nous commençons par notre expression pour le déplacement donnée dans la question, cinq 𝑡 au carré 𝐢 plus sept 𝑡 𝐣. La dérivation de chaque terme par rapport à 𝑡 nous donne 10𝑡 𝐢 plus sept 𝐣. Le vecteur vitesse du corps 𝐯 de 𝑡 est égal à 10𝑡 𝐢 plus sept 𝐣. En dérivant encore une fois, nous voyons que l’accélération du corps est simplement égale à 10𝐢.

Nous sommes en mesure de calculer le vecteur force 𝐅. Ceci est égal à la masse de trois kilogrammes multipliée par l’accélération de 10𝐢 mètres par seconde au carré, ce qui nous donne un vecteur force de 30𝐢. Et cela est mesuré en unités standard de newtons. Rappelant que nous devons trouver le travail effectué par la force dans les six premières secondes, nous devons calculer le déplacement du corps après six secondes. Lorsque 𝑡 est égal à zéro, 𝐬 de 𝑡 est égal à zéro 𝐢 plus zéro 𝐣. Cela signifie que le corps commence à l’origine. Lorsque 𝑡 est égal à six secondes, le déplacement est égal à cinq multiplié par six au carré 𝐢 plus sept multiplié par six 𝐣. Cela équivaut à 180𝐢 plus 42𝐣.

Étant donné que le corps a commencé à l’origine, nous avons maintenant le vecteur de déplacement dans les six premières secondes du mouvement. Puisque nous avons aussi le vecteur force, nous pouvons trouver le produit scalaire de ceux-ci pour calculer le travail effectué. Le travail effectué est égal au produit scalaire de 30𝐢 et 180𝐢 plus 42𝐣. Pour calculer le produit scalaire, nous trouvons la somme des produits des composantes correspondantes. Cela équivaut à 30 fois 180 plus zéro multiplié par 42, ce qui équivaut à 5400.

Le travail effectué par la force dans les six premières secondes de mouvement est de 5400 joules.

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