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Vidéo question :: Utiliser les propriétés des polygones semblables pour déterminer une inconnue en formant une équation linéaire. Mathématiques • Première année secondaire

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∼ 𝑍𝑌𝑋𝐿, déterminez la valeur de 𝑋.

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Transcription de la vidéo

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à 𝑍𝑌𝑋𝐿, déterminez la valeur de 𝑋.

On nous dit que deux polygones, ou en fait des quadrilatères, 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝑍𝑌𝑋𝐿 sont semblables. On rappelle que les polygones semblables ont deux propriétés principales. Premièrement, les angles correspondants sont congruents. Et deuxièmement, les côtés correspondants sont proportionnels.

On peut déterminer les sommets qui se correspondent en considérant l'ordre des lettres dans l'énoncé de similitude. On nous a dit que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à 𝑍𝑌𝑋𝐿, donc le sommet 𝐴 correspond au sommet 𝑍, le sommet 𝐵 correspond au sommet 𝑌, le sommet 𝐶 correspond au sommet 𝑋, et le sommet 𝐷 correspond au sommet 𝐿. Cela nous permet également de déterminer quels côtés des deux polygones sont correspondants. Le côté reliant les sommets 𝐴 et 𝐵 sur le plus petit polygone correspond au côté reliant les sommets 𝑍 et 𝑌 sur le plus grand. Et le côté reliant les sommets 𝐶 et 𝐷 sur le plus petit polygone correspond au côté reliant les sommets 𝑋 et 𝐿 sur le plus grand polygone.

On peut alors utiliser le fait que les côtés correspondants de polygones semblables sont proportionnels pour poser une équation. Si on utilise les paires de côtés proportionnels que nous avons identifiées, nous avons 𝐶𝐷 sur 𝑋𝐿 égale 𝐴𝐵 sur 𝑍𝑌. De même, on peut écrire l'inverse de ceci : 𝑋𝐿 sur 𝐶𝐷 égale 𝑍𝑌 sur 𝐴𝐵. On peut alors substituer les longueurs ou les expressions données dans le schéma pour chacun de ces côtés. Nous avons 15 plus deux 𝑋 sur 246,2 égale 75 sur 150. Voilà pourquoi j'ai choisi d'écrire la relation proportionnelle de cette façon plutôt que son inverse, car l'inconnue 𝑋 se trouve alors au numérateur de la fraction.

On peut maintenant simplifier la fraction de droite en divisant le numérateur et le dénominateur par 75 ce qui donne un demi. Cela signifie que les longueurs sur le plus petit polygone sont deux fois moins longues que les longueurs correspondantes sur le plus grand polygone. Et inversement, les longueurs du grand polygone sont deux fois plus longues que les longueurs correspondantes du petit polygone.

On peut alors aborder le problème d'un point de vue logique, ou continuer à résoudre l'équation que nous avons formée. En multipliant les deux côtés de l'équation par 246,2, on obtient 15 plus deux 𝑋 égale 246,2 sur deux, soit 123,1. On veut déterminer 𝑋, donc l'étape suivante consiste à soustraire 15 de chaque côté de l'équation, ce qui donne deux 𝑋 égale 108,1. Pour terminer, on divise les deux côtés de l'équation par deux pour obtenir 𝑋 égale 54,05.

En rappelant que les côtés correspondants de polygones semblables sont proportionnels, puis en formant une équation impliquant la longueur de deux paires de côtés correspondants, nous avons trouvé que la valeur de l'inconnue 𝑋 est 54,05.

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