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Vidéo de question : Déterminer un intervalle sur lequel deux fonctions du second degré partagent le même signe Mathématiques

Déterminez l’intervalle de ℝ sur lequel le signe des deux fonctions d’expressions 𝑓(𝑥) = 2𝑥² - 7𝑥 - 30 et 𝑔(𝑥) = 𝑥² - 3𝑥 - 10 est négatif.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’intervalle, sur l’ensemble des nombres réels, pour lequel le signe des deux fonctions d’expressions 𝑓 de 𝑥 égal deux 𝑥 au carré moins sept 𝑥 moins 30 et 𝑔 de 𝑥 égal 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 10 est négatif.

Nous pouvons commencer par considérer la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥, qui est égale à deux 𝑥 au carré moins sept 𝑥 moins 30. Comme nous voulons que cela soit négatif, nous voulons que l’expression de la fonction soit strictement inférieure à zéro. Afin de résoudre l’inégalité deux 𝑥 au carré moins sept 𝑥 moins 30 strictement inférieur à zéro, nous devons tout d’abord trouver les valeurs où l’expression de la fonction est égale à zéro. Nous pouvons le faire par factorisation, en factorisant le membre de gauche à l’aide de deux facteurs entre parenthèses. Les premiers termes de nos parenthèses sont deux 𝑥 et 𝑥, car deux 𝑥 multiplié par 𝑥 donne deux 𝑥 au carré. Les seconds termes doivent avoir pour produit moins 30. Cinq multiplié par moins six nous donne moins 30.

Si nous développions les parenthèses, nous obtiendrions deux 𝑥 au carré moins 12𝑥 plus cinq 𝑥 moins 30, ce qui se simplifie par deux 𝑥 au carré moins sept 𝑥 moins 30. Nous pouvons maintenant résoudre ce problème en posant chacun des facteurs comme étant égal à zéro. Soustraire cinq à chaque membre de notre première équation nous donne deux 𝑥 égal moins cinq. En divisant les deux membres de cette équation par deux, on obtient 𝑥 égal moins cinq sur deux soit moins deux et demi. Ajouter six aux deux membres de notre seconde équation nous donne 𝑥 égal six. Les deux solutions de l’équation du second degré deux 𝑥 au carré moins sept 𝑥 moins 30 égal zéro sont 𝑥 égal moins cinq sur deux et 𝑥 égal six.

Nous pourrions l’illustrer sur un graphique. La courbe représentative de la fonction du second degré d’expression 𝑓 de 𝑥 coupe l’axe des abscisses 𝑥 en moins cinq sur deux et six. Nous pouvons donc voir, qu’entre moins cinq sur deux et six, la fonction est négative, c’est-à-dire que son expression est strictement inférieure à zéro . Cela peut être écrit en utilisant des inégalités telles que 𝑥 est strictement supérieur à moins cinq sur deux et est strictement inférieur à six. De manière alternative, nous pourrions utiliser la notation avec les intervalles et écrire l’intervalle ouvert moins cinq sur deux, six. Considérons maintenant notre seconde fonction d’expression 𝑔 de 𝑥 qui est égale à 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 10. Encore une fois, nous voulons que ce soit négatif, c’est-à-dire que l’expression doit être strictement inférieure à zéro. Encore une fois, en posant cette expression du second degré égale à zéro, nous pouvons la factoriser pour obtenir 𝑥 moins cinq multiplié par 𝑥 plus deux égal zéro. Cela signifie que 𝑥 moins cinq est égal à zéro ou que 𝑥 plus deux est égal à zéro.

Ajouter cinq à chaque membre de la première équation nous donne 𝑥 égal à cinq. Et soustraire deux à chaque membre de la seconde équation nous donne 𝑥 égal à moins deux. Encore une fois, cela nous donne les deux valeurs pour lesquelles la fonction a une expression qui est égale à zéro. En représentant une fois de plus la fonction, nous voyons que l’expression 𝑔 de 𝑥 est négative entre moins deux et cinq. Encore une fois, nous pourrions l’écrire en utilisant des inégalités ou une notation à l’aide d’intervalles. La fonction d’expression 𝑔 de 𝑥 est négative lorsque 𝑥 est strictement supérieur à moins deux et strictement inférieur à cinq.

Nous voulons déterminer l’intervalle où le signe des deux fonctions est négatif. Considérons une droite numérique avec les quatre valeurs clés moins cinq sur deux, moins deux, cinq et six. Nous savons que 𝑓 de 𝑥 est négatif sur l’intervalle ouvert moins cinq sur deux, six. 𝑔 de 𝑥 est négatif sur l’intervalle ouvert moins deux, cinq. Comme nous voulons que les deux fonctions soient négatives, nous pouvons voir que cela se produit entre moins deux et cinq. La bonne réponse est l’intervalle ouvert moins deux, cinq.

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