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Vidéo de question : Résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables Mathématiques

Si 𝜃 ∈ [0 ° ; 180 °[ et sin 𝜃 + cos 𝜃 = 1, déterminez toutes les valeurs possibles de 𝜃.

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Transcription de vidéo

Si 𝜃 est compris entre zéro degrés inclus et 180 degrés non inclus et si sinus 𝜃 plus cosinus 𝜃 égale un, déterminez toutes les valeurs possibles de 𝜃.

Nous allons ici manipuler l’équation sin 𝜃 plus cos 𝜃 égale un pour la résoudre et calculer les valeurs de 𝜃. Notre première étape consiste à mettre les deux membres de l’équation au carré. Cela nous donne sin 𝜃 plus cos 𝜃, le tout au carré égale un au carré. Pour mettre sin 𝜃 plus cos 𝜃 au carré, il faut multiplier sin 𝜃 plus cos 𝜃 par lui-même. Et un au carré égale un.

On peut ensuite développer les parenthèses à l’aide de la double distributivité. Tout d’abord, on multiplie sin 𝜃 par sin 𝜃. Cela nous donne sin 𝜃 au carré. Puis on multiplie sin 𝜃 par cos 𝜃. Ce qui fait sin 𝜃 cos 𝜃. On multiplie ensuite les termes internes, cos 𝜃 et sin 𝜃. Ce qui nous donne également sin 𝜃 cos 𝜃. Et enfin, on multiplie les derniers termes et on obtient cos 𝜃 au carré, car cos 𝜃 fois cos 𝜃 égale cos 𝜃 au carré.

On a donc sin 𝜃 au carré plus sin 𝜃 cos 𝜃 plus un autre sin 𝜃 cos 𝜃 plus cos 𝜃 au carré égale un. Cela peut se simplifier par sin 𝜃 au carré plus cos 𝜃 au carré plus deux sin 𝜃 cos 𝜃 égale un. Notre prochaine étape consiste à utiliser deux de nos identités trigonométriques. Tout d’abord, sin 𝜃 au carré plus cos 𝜃 au carré est égal à un. Cela nous donne un plus deux sin 𝜃 cos 𝜃 égale un. On peut alors soustraire un aux deux membres de cette équation. Et cela nous donne deux sin 𝜃 cos 𝜃 égale zéro. Ensuite, une des formules d’angle double stipule que sin de deux 𝜃 est égal à deux sin 𝜃 cos 𝜃. Cela signifie que notre équation peut être reformulée par sin de deux 𝜃 égale zéro.

Nous recherchons des valeurs comprises entre zéro et 180 degrés. La courbe représentative de sin 𝜃 ou de sin de deux 𝜃 a un maximum de un et un minimum de moins un. La courbe représentative de sin de deux 𝜃 atteint son maximum en 𝜃 égale 45 degrés et son minimum en 𝜃 égale 135 degrés. Mais nous recherchons les valeurs de 𝜃 telles que sin de deux 𝜃 est égal à zéro. Cela se produit en trois points sur notre graphique : en 𝜃 égale zéro degré, 90 degrés et 180 degrés. Mais la valeur de 𝜃 doit être supérieure ou égale à zéro degré et strictement inférieure à 180 degrés. Cela signifie que les deux valeurs de 𝜃 dans cet intervalle qui vérifient cette équation sont 𝜃 égale zéro degré et 𝜃 égale 90 degrés.

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